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Solution du problème de Dirichlet

Posté par
siwar123 09-03-17 à 15:26

Merci bien de m'aider à prouver le problème suivant:

Soit G:=\left\{z\in \mathbb{C},\;-a<Re\;z<a,\;-b<Im\;z<b\right\}, où a,b>0.

Supposer que  f:\partial G\to\mathbb{R} est une fonction continue qui satisfait f(\bar z)=-f(z), \;z\in\partial G.
Montrer que la solution u du problème de Dirichlet dans  G avec les valeurs limites f satisfait  u(\bar z)=-u(z),\; z\in \bar G. En particulier u(z)=0 quand Im\;z=0,\;z\in \bar G.

Merci d'avance.

Posté par
etniopalre : Solution du problème de Dirichlet 09-03-17 à 16:28

Comment est   définie  "    la solution  du problème de Dirichlet  (G , f)  "  ?

Posté par
siwar123re : Solution du problème de Dirichlet 09-03-17 à 17:25

La solution u du problème de Dirichlet dans  G avec les valeurs limites f est donnée par: u:\bar{G}\to \mathbb{R} avec

u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}z|^2} f ( e^{it}) \, dt, \qquad z \in {\mathbb{G}}. \tag{1}

Alors pour tout z \in {\mathbb{G}}

u(\bar z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}\bar z|^2} f ( e^{it}) \, dt=-\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}\bar z|^2} f ( e^{-it}) \, dt, \qquad z \in \bar{\Bbb{G}}. . car f(z)=-f(\bar z) pour tout z\in\partial G
et je suis bloquée ici.

Posté par
siwar123re : Solution du problème de Dirichlet 09-03-17 à 18:56

J'ai posé $v(z)=u(\bar z)$ de tel sorte que $v(x,y)=u(x,-y)$
On sait que $u$ est solution de  $-\Delta u = 0$ sur $G$
et $u=f$ sur $\partial G$.

Je veux montrer que $v$ est solution de $-\Delta v = 0$ sur $G$
et $v(z)=f(\bar z) $ sur $\partial G$.
J'ai écrit:

$-\Delta v(x,y)=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}v(x,y)-\frac{\partial^2}{\partial y^2}v(x,y)=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,-y)-\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,-y)$
ensuite que dois-je faire ?

On a $-\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,y)-\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,y)=0$  mais je ne sais pas comment montrer que $-\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(x,-y)-\frac{\partial^2}{\partial y^2}u(x,-y)=0$ ?


Merci bien de m'aider.

Posté par
etniopalre : Solution du problème de Dirichlet 09-03-17 à 19:18

Ta formule 1 me paraît  bizarre  car pour que l'intégrale ait un sens il faut au moins que  pour tout t , on ait   e^{it}  \in\partial G .

Posté par
siwar123re : Solution du problème de Dirichlet 09-03-17 à 19:32

oui vous avez raison. Quelle est alors la formule juste?

Posté par
etniopalre : Solution du problème de Dirichlet 09-03-17 à 19:34

C'est quand même à toi de nous la donner . Ne serait-ce que pour que tu saches de quoi tu parles . Tu as du avoir un cours la dessus , non ?

Posté par
jsvdbre : Solution du problème de Dirichlet 10-03-17 à 09:10

Bonjour,

je suppose que le post 09-03-17 à 18:56 avec les $ au lieu des balises LaTex doit correspondre à ceci : qui est nettement plus lisible.


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