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Somme

Posté par
Ramanujan 28-02-19 à 21:53

Bonsoir,

Soit n \in \N^* et \theta = \dfrac{\pi}{n}

Montrer que : \sum_{k=0}^{n-1} \cos(k \theta) = 0

Je trouve : \sum_{k=0}^{n-1} \cos(k \theta)  = \Re(\sum_{k=0}^{n-1} \exp(i \dfrac{k \pi}{n})) = \Re(\sum_{k=0}^{n-1} (\exp(i \dfrac{ \pi}{n}))^k)

Or 0 < \dfrac {\pi}{n} < \pi ainsi :

\sum_{k=0}^{n-1} \cos(k \theta)= \dfrac{1 - e^{i \pi}}{1-e^{i \dfrac{\pi}{n}} }

Ce qui n'est pas nul je comprends pas où est l'erreur

Posté par
Zrunre : Somme 28-02-19 à 22:00

Prend la partie réelle de l'expression obtenue ...

Posté par
Ramanujanre : Somme 28-02-19 à 22:05

Je trouve pas 0

Je trouve : \Re(i e^{\dfrac{i \pi}{2n}}) ce qui ne peut pas être nul

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:06

Bonsoir Ramanujan.

Il y a un soucis dans l'énoncé car pour n = 1 on n'a clairement pas \sum_{k=0}^{0} \cos(k \pi) = \cos(0) =0

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:10

De même pour n = 2 cela donnerait \cos(0)+\cos(\pi/2) = 1+0=0

Posté par
larrechre : Somme 28-02-19 à 22:11

Bonsoir,

La sommation des cosinus doit commencer à k=1, sinon c'est faux.

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:13

Par contre

Soit n \in \N^* et \theta = \dfrac{2\pi}{n}

Montrer que : \sum_{k=0}^{n-1} \cos(k \theta) = 0

le même raisonnement est nettement plus convaincant ...

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:16

... ou pas

Posté par
Ramanujanre : Somme 28-02-19 à 22:17

Bonsoir, j'ai relu l'énoncé et c'est bien ça. Une coquille dans mon livre ?

La deuxième question est de calculer : \sum_{k=0}^{n-1} k \cos(k \theta)

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:21

Alors dans ce cas \sum_{k=0}^{n-1} \cos(k \theta) = 1

Posté par
Ramanujanre : Somme 28-02-19 à 22:28

Je comprends pas comment vous obtenez 1...

Je trouve Re(\dfrac{2}{1-e^{\dfrac{i \pi}{n}}})

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:38

\dfrac{2}{1-\cos(\pi/n)+i\sin(\pi/n)}=\dfrac{2(1-\cos(\pi/n))}{(1-\cos(\pi/n))^2+\sin^2(\pi/n)}=\dfrac{2(1-\cos(\pi/n))}{2-2\cos(\pi/n)}=1

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:41

J'ai oublié un détail :

\Re\left(\dfrac{2}{1-\cos(\pi/n)+i\sin(\pi/n)}\right)=\dfrac{2(1-\cos(\pi/n))}{(1-\cos(\pi/n))^2+\sin^2(\pi/n)}=\dfrac{2(1-\cos(\pi/n))}{2-2\cos(\pi/n)}=1

Où on se rappelle que \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar z}{|z|}

Posté par
Ramanujanre : Somme 28-02-19 à 22:45

Merci beaucoup

Vous avez fait une petite erreur la définition du module c'est :

|z| = \sqrt{z \bar{z}}

Posté par
jsvdbre : Somme 28-02-19 à 22:47

Erratum :

Où on se rappelle que \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar z}{|z|^2}

Posté par
Ramanujanre : Somme 28-02-19 à 22:48

Oui mais j'aurais jamais pensé à cette astuce merci.

Posté par
Ramanujanre : Somme 01-03-19 à 00:21

J'ai un souci sur la fin pour le suivant :

\sum_{k=0}^{n-1} k \cos(k \theta)

J'ai posé : f(t)=\sum_{k=0}^{n-1}  \sin(k t)

On trouve aisément : f(t)=\sin ((n-1) \dfrac{t}{2}) \dfrac{\sin(\dfrac{nt}{2})}{\sin(\dfrac{t}{2})})

Or : f'(t)= \sum_{k=0}^{n-1}  k \cos(k t)

En dérivant et en remplaçant t par \dfrac{\pi}{n} on obtient :

f'(\dfrac{\pi}{n})=\dfrac{n-1}{2}- \dfrac{1}{2} \dfrac{\cos^2(\dfrac{\pi}{2n})}{\sin^2(\dfrac{\pi}{2n})}

Mais je comprends pas le corrigé qui donne une directement :

\sum_{k=0}^{n-1}  k \cos(k \dfrac{k \pi}{n} )= \dfrac{n}{2}-  \dfrac{1}{2 \sin^2(\dfrac{\pi}{2n})}  

Pourquoi j'obtiens pas la même chose ?

Posté par
lionel52re : Somme 01-03-19 à 07:01

Legalité sin^2 + cos^2 = 1 sapprend en 3e

Posté par
Ramanujanre : Somme 01-03-19 à 13:40

Ah d'accord merci j'avais pas pensé.


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