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somme alternée de coefficients binomiaux

Posté par
math71 08-09-18 à 17:45

Bonjour,
Je cherche à calculer la somme suivante
S(n,p)=pour k allant de 0 à p de (-1)^k*k parmi n
désolé, je ne sais pas encore trop manipuler les symboles du site...
J'ai calculé S(4,2), S(4,3), S(5,2), S(5,3), S(5,4), pour essayer de faire une conjecture puis alors j'essayerai de la démontrer par récurrence car on a facilement S(n,p)= S(n, p-1) +(-1)^p*p parmi n.
mais voilà, aucune formule ne me vient à l'esprit en regardant les résultats...
merci à qui pourra me donner un petit coup de pouce.

Posté par
jsvdbre : somme alternée de coefficients binomiaux 08-09-18 à 17:50

Bonjour math71.

Et si tu écrivais S(n,p) = \sum_{k=0}^{n}{\binom n k.1^{n-k}.(-1)^k} ... non ?

Posté par
math71re : somme alternée de coefficients binomiaux 08-09-18 à 17:59

Attention la somme va jusqu'à p pas n sinon ce serait facile...

Posté par
veledare : somme alternée de coefficients binomiaux 08-09-18 à 19:11

bonjour
tu calcules _S_{n,p} pour p=1,2,3..

il me semble que  cela se factorise bien

Posté par
jsvdbre : somme alternée de coefficients binomiaux 08-09-18 à 19:26

Ah oui ! j'avais pas vu que c'était une somme partielle.

Alors tu peux exploiter la génératrice (1+z)^{n+m}(1-z)^{-m} = (1+z)^n

Posté par
lakere : somme alternée de coefficients binomiaux 08-09-18 à 20:00

Bonjour,

Tu peux regarder le début de 10h19 ici:   Somme alternée avec des coefficients binomiaux

Posté par
math71re : somme alternée de coefficients binomiaux 08-09-18 à 20:35

Merci Veleda, je n'avais pas pensé à faire le calcul avec n quelconque et p = 1, 2 ,.... On voit bien apparaître la formule S(n,p)=(-1)^p* p parmi n-1 et la récurrence va bien. Merci.
Merci aux 2 autres aussi, même si je n'ai pas compris l'indication de jsvdb, et que j'ai vu la contribution de lake qu'après avoir fini.
Bonne soirée. Pour moi le sujet est clos.


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