bonsoir : )

acos(wt) + bsin(wt) = V(a² + b²)[a/V(a² + b²)cos(wt) + b/V(a² + b²)sin(wt)]

or -1 <= a/V(a² + b²) <= 1, il existe donc un phi réel tel que a/V(a² + b²) = sin(phi)
d'où b/V(a² + b²) = cos(phi)

donc acos(wt) + bsin(wt) = V(a² + b²)[sin(phi)cos(wt) + cos(phi)sin(wt)] = V(a² + b²)sin(wt + phi)

Merci beaucoup pour votre réponse !
C'est une démonstration assez elegante.
Je me demande toujours s'il est possible de passer par la formule d'Euler :
cos(x) = 0.5(e^(ix)+e^(-ix))    sin(x) = (e^(ix)-e^(-ix)) / (2i) )
Vous pensez qu'il y un moyen d'aboutir en passer par celle-ci ?
En tout cas, merci encore pour votre aide.

Bonjour;

correction 1° ligne

Merci beaucoup pour cette réponse.
Par contre je suis désole mais je vois pas comment on débouche sur "Asin(wt + phi)".

Par ailleurs, je reviens sur la démonstration mdr_non.
Si on pose a/V(a² + b²) = cos(phi) on obtient  b/V(a² + b²) = sin(phi).
Ainsi la formule deviendrait acos(wt) + bsin(wt) = Acos(wt + phi).
Je me trompe ?

tu as la somme de deux complexes conjugué,

si tu choisis a/V(a² + b²) = cos(phi)

on obtient acos(wt) + bsin(wt) = V(a² + b²)cos(wt - phi) = V(a² + b²)sin(wt + phi')

par exemple, cos(pi/2 - x) = sin(x), on peut toujours passer de cosinus à sinus, j'ai choisi a/V(a² + b²) = sin(phi) pour obtenir exactement ta formule,

On a la somme de deux complexes conjugués z et /z, donc on obtient 2*Re(z) ce qui ne nous pas de sinus.
En fait je commence à me dire que la formule que j'essaie de démontrer est fausse.
En effet, si on considere cette formule avec  b=0, on obtient cos(x)=sin(x) ce qui est absurde ...

Voila comment j'en arrive à mon résultat aberrent .
Soit b=0,
D'ou A=a et phi=0
Donc Asin(wt +phi) = asin(wt).
De l'autre cote de l'égalité, on a acos(wt) + bsin(wt)= acos(wt).
Je me trompe ?

je suppose que tu as posé A = V(a² + b²) et phi = arcsin(a/V(a² + b²))

si b = 0 alors A  = a et phi = arcsin(1) = pi/2

Ah vous avez raison avec vos hypothèse ça fonctionne.
Le soucis c'est que dans mon cours (et géométriquement je trouve ça coherent) phi=Arctan(b/a) et A=racine(a^2 + b^2).

on a plutôt sin(phi) = a/V(a² + b²) et cos(phi) = b/V(a² + b²)
d'où sin(phi)/cos(phi) = tan(phi) = a/b d'où phi = arctan(a/b), à condition que b ne soit pas nul !

Tres bien merci beaucoup je définitivement compris pleinement votre démonstration.
A présent je reviens sur le passage par le formule d'Euler.
Si j'ai bien compris, nous avons
acosx +bsinx = 1/2*2*Re(e^(ix)*(a-ib)).
e^(ix)*(a-ib) = (acosx +bsinx) +i(asin -bcosx)
Donc acosx +bsinx = acosx + sinx ... Il semblerait que je tourne en rond ...

oui si tu développes à nouveau oui on revient au point de départ,

a - ib peut s'écrire sous forme exponentielle, après avoir trouvé la forme exponentielle tu pourras conclure,

et après avoir fait les calculs tu remarqueras que le passage par les formules d'Euler n'a fait qu'alourdir la démonstration puiqu'au final on est revenu aux formules d'additions : cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b)

Très bien donc si je fais ça j'obtient :
a-ib = 1/racine(a^2+b2)*(a/(racine(...)-ib/racine(...))
-1<a/racine(...)<1
Posons cos(phi) = a/racine(a^2 +b^2).
D'ou sin(phi) = b/racine(a^2 + b^2).
On obtient a-ib = 1/racine(a^2 + b^2)*(cos(phi-ibsin(phi))
Donc a-ib = e^(-i*phi)
D'ou e^(ix)(a-ib) = e^(i(x-phi))
Donc Re(e^(-i*phi))= cos(x-phi).
On pose phi = pi/2 - phi'
On a Re(...)=cos(x+phi'-pi/2)=sin(x+phi'), avec sin(phi') = a/racine(a^2 +b^2) et cos(phi') = b/racine(a^2 + b^2).

Je trouve bien le même résultat que vous. Mon seul soucis c'est que ce n'est pas du tout cohérent avec l'approche géométrique. Si l'on trace un diagramme de Fresnel avec les cos sur l'axe des abscisses et les sin sur l'axe des ordonnées. On observe que pour cette formule sin(phi)=b/racine(a^2 +b^2) et cos(phi) = a/racine(a^2 + b^2). Et on bien phi = Arctan(b/a).

tout simplement,

a - ib à mettre sous forme exponentielle,
1 / calculer le module
|a - ib| = V(a² + b²)
arg(a - ib) = phi

d'où a - ib = V(a² + b²)exp(i*phi)

d'où (a - ib)exp(ix) = V(a² + b²)exp(i(phi + x))...

Super merci pour cette explication détaillété,  ça m'éclaire.
En effet, j'aurais du penser à la notion de "convention" qui est aussi lié à la représentation géométrique.
Finalement, il y a bien une erreur dans mon cours : Tel que phi est définie, on devrait avoir sin (wt-phi+pi/2) et non pas sin (wt +phi).

oui : )

de rien : ) et bonne continuation : )