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somme de cubes

Posté par Julye (invité) 15-07-05 à 22:55

bonsoir a toutes et tous

si j'abuse, dites-le moi, j'arrete
sinon voici l'exercice que j'ai fait et ce que j'ai trouve, merci de me corriger/suggerer autre chose

enonce:
montrer que la somme des cubes de trois entiers consecutifs est divisible par 9

ce que j'ai trouve :
il s'agit de montrer que pour tout entier naturel n,
a=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3 est nul modulo 9
alors en developpant et reduisant, je trouve :
a=3n(n^2+2)
comme on a deja un 3 en facteur, si on pouvait en trouver d'autres ...
deja, si n est multiple de 3 c'est regle
maintenant, je vais tenter de chercher dans n^2+2
n^2+2=n^2-1=(n-1)(n+1) mod 3 (idee de tutu qui m'est revenue, je sens que je vais aimer ce forum !)
donc si n=1 ou n=-1 mod 3 alors n^2+5 nous cache un facteur 3 et donc a devient divisible par 9
en fait , on pourrait tout recapituler en terme de congruences modulo 3

autre facon de faire ?

Posté par
ottore : somme de cubes 15-07-05 à 23:07

Bonjour,
ca me semble pas mal.

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 15-07-05 à 23:12

je me rends compte qu'en venant ici c'est mieux que de travailler toute seule (j'ai vu d'ailleurs qu'il y avait un post a ce sujet sur le forum lycee)
je vais avoir des idees plus rapidement
j'aime

Posté par
ottore : somme de cubes 15-07-05 à 23:15

C'est une bonne idée pour progresser, si c'est ce que tu veux.
Bonne chance.
A+

Posté par
rene38re : somme de cubes 15-07-05 à 23:20

Bonsoir
"autre facon de faire ?" : oui, par récurrence
Initialisation : 03+13+23=90 [9]
Hérédité : Si Sn=(n-1)3+n3+(n+1)30 [9] alors Sn+1=n3+(n+1)3+(n+2)3=Sn+9(n2+n+1)0 [9]
donc ...

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 15-07-05 à 23:21

oh oui que je veux progresser !

j'ai vu otto que tu es en master, sans indiscretion aucune : ca ete difficile d'arriver jusque la ? ou bien tu es de ceux pour qui, il ne faut pas faire beaucoup d'efforts pour avoir des idees
et aimes-tu quand un probleme te resiste ?
pour ma part, je n'ecoute jamais les profs, ca ne m'interesse pas, je prefere faire mon propre programme
tu reponds pas si tu veux pas, puisque c'est indiscret, et en plus ca fait beaucoup de questions

Posté par
ottore : somme de cubes 15-07-05 à 23:25

"et aimes-tu quand un probleme te resiste ?"
Ca ne m'arrive jamais
Je plaisante, ca dépend du problème.

Sinon écoute quand même tes profs, ca peut te jouer de vilains tours sinon.

Pour arriver jusque là pas de mystère, c'est comme pour arriver n'importe où, il faut travailler et ce, en fonction de tes difficultés et de tes capacités, c'est à toi de voir comment tu travailles.

Où as tu vu que j'étais en Master?
A+

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 15-07-05 à 23:29

je suis alle dans ton profil et en allant de post en post et de lien en lien, je suis tombee sur un de tes messages qui y faisait allusion, pourquoi ?

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 15-07-05 à 23:41

voila le lien qui m'a fait penser a cela (ton dernier post) :
Un petit théorème de Rolle pour les polynomes complexes

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 15-07-05 à 23:44

pour les liens concernant Nightmare, j'ai abandonne, il y en a trop

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 15-07-05 à 23:49

rene38 : pour ta remarque
S_{n+1}=S_n-(n-1)^3+(n+1)^3
mais quand je reduis, je trouve :
S_{n+1}=S_n+2(3n^2+1)
peux-tu m'eclairer ?

Posté par
Nightmarere : somme de cubes 16-07-05 à 00:00

Julye.

Si tu as une question à me poser tu n'as pas besoin de naviguer dans tout mes posts pour y trouver la réponse


Jord

Posté par
Nightmarere : somme de cubes 16-07-05 à 00:05

Julye :

3$\rm S_{n+1}=n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}=S_{n}-(n-1)^{3}+(n+2)^{3}

Or :
3$\rm (n+2)^{3}-(n-1)^{3}=n^{3}+6n^{2}+12n+8-n^{3}+3n^{2}-3n+1=9n^{2}+9n+9=9(n^{2}+n+1)


Jord

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 16-07-05 à 00:06

ben, c'est que je suis curieuse (autant en mathematiques qu'en vraie)
et si la curiosite est un defaut alors c'est le plus beau que l'on ait !
penses-tu que dans la reponse de rene38 il faille reflechir pour trouver ou bien c'est moi qui ne "voit" pas le truc (il est tard)

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 16-07-05 à 00:06

oups, desolee, j'avais pas raffraichi la page

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 16-07-05 à 00:08

ha mais bien sur ! j'ai developpe  (n+1)^3 et non (n+2)^2 que sotte !
merci Nightmare

Posté par
Nightmarere : somme de cubes 16-07-05 à 00:09

Pas de probléme Julye


Jord

Posté par
rene38re : somme de cubes 16-07-05 à 00:12

Sn+1=Sn-(n-1)3+(n+2)3
Sn+1=Sn-(n3-3n2+3n-1)+(n3+6n2+12n+8)
Sn+1=Sn-n3+3n2-3n+1+n3+6n2+12n+8
Sn+1=Sn+9n2+9n+9
Sn+1=Sn+9(n2+n+1)

Posté par Julye (invité)re : somme de cubes 16-07-05 à 00:21

c'est tres gentil de ta part rene38 !
je trouve cette idee de recurrence pas male du tout
merci rene*

c'est moi qui n'a pas fait attention et me suis precipitee

*je me permets de t'appeler rene
et toi, Nightmare, tu as deja eu ton merci

Posté par jean-émile (invité)re : somme de cubes 16-07-05 à 06:54

Salut

Après être arrivée à n(n-1)(n+1) tu peux remarquer que n-1 , n et n+1 sont 3 entiers naturels consécutifs donc l'un des 3 est divisible par 3 , donc le produit aussi

jean-émile






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