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Somme de Riemann

Posté par
Sokkok 25-05-22 à 23:53

Bonjour j'ai une petite question concernant la somme de Riemann avec exercice si dessous :

Mon porf il a écrit comme exercise ci dessous mais je n'ai pas compris pourquoi n4 devient n5 ? Pourriez vous m'expliquer s'il vous plaît.

on a formule :

\huge \lim_{n->\propto }\frac{1}{n} \sum{_{k=1}^{n}} f (a +(b-a).\frac{k}{n}) = \int_{a}^{b}{f(x) dx}



Exercise:

\large \lim_{n- >+\propto } \sum{_{k=1}^{n}} \frac{n^{4}}{(n+3k)^{5}} = \lim_{n- >+\propto } \frac{1}{n} \sum{_{k=1}^{n}} \frac{n^{5}}{(n+3n)^{5}} = \lim_{n- >+\propto } \frac{1}{n} \sum{_{k=1}^{n}} (\frac{n}{n+3k})^{5} =

\large \lim_{n- >+\propto } \frac{1}{n} \sum{_{k=1}^{n}} (\frac{1}{1+3\frac{k}{n}})^{5} = \int_{0}^{1}{(\frac{1}{1+3x})^{5}dx} = \int_{0}^{1}{({1+3x})^{-5}dx}

Posté par
Mateo_13re : Somme de Riemann 26-05-22 à 04:11

Bonjour,

n^4 = \dfrac{1}{n}\times n^5 et le \dfrac{1}{n} a été factorisé devant le symbole \Sigma.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
AitOuglifre : Somme de Riemann 26-05-22 à 08:15

Bonjour
Par contre, au deuxième membre de la première ligne, il y a une coquille, c'est un k derrière le 3 et non n.

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 12:50

Bonjour ,himm j'ai toujour pas compris comment n4 devient n5 donc par exemple si il n'ya pas \frac{1}{n} devant la somme donc on doit mettre \frac{1}{n} devant la somme et on factorise \frac{1}{n}  ou  on doit augment la puissane n comme cet exercise c'est à dire la valeur de numérateur \large n^{4} devient \large n^{5} ?

Si par exemple la valeur dénominateur est puissance 4 donc on augment aussi ?

Posté par
AitOuglifre : Somme de Riemann 26-05-22 à 12:54

Bonjour,
On applique les règles de calcul du collège

Posté par
Mateo_13re : Somme de Riemann 26-05-22 à 12:55

n^4 = \dfrac{n^4}{1}= \dfrac{n^4 \times n}{1 \times n}=\dfrac{n^5}{n}

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 12:58

Ok , Merci beaucoup

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 18:59

Bonjour je reviens vous j'ai une question

En fait j'ai compris comment appliquer la somme de riemann mais quand il y a exercise qui demand par exemple :

Calculer integrale à l'aide de la somme riemann :

\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

je suis bloqué avec ça ? Pouvez m'expliquer s'il vous plaît.

Posté par
AitOuglifre : Somme de Riemann 26-05-22 à 19:35

Sokkok, tu peux appliquer cette formule :
\huge \lim_{n->\propto }\frac{1}{n} \sum{_{k=1}^{n}} f (a +(b-a).\frac{k}{n}) = \int_{a}^{b}{f(x) dx}

Le problème, c'est que tu vas tomber sur une limite à calculer(faisable, mais si tu as du mal avec les sommes de Riemann, ça te posera peut-être problème).
Sais-tu calculer la limite de n(1-e^{1/n})?

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 19:40

Pour la limite de

\large n(1-e^{\frac{1}{n}}) = n(n-e^{\frac{1}{n}}) ?

Posté par
AitOuglifre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:15

Je n'ai pas compris ta question. Le membre de gauche n'est pas égal au membre de droite. Je te demande de calculer la limite du membre de gauche.

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:17

Honnênment , je ne sais pas comment calculer cette limite

Posté par
AitOuglifre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:32

Pas grave, en fait je voulais simplement te dire que si tu appliques la formule plus haut pour passer d'une intégrale à une somme de Riemann(on passe de l'un à l'autre si le passage rend le calcul plus simple, ce qui n'est pas le cas général, donc ce n'est pas une méthode systématique), alors tu tombes sur cette limite. Maintenant, pour la calculer, tu as plusieurs manières de faire.
Sais-tu calculer la limite de :
\tfrac{e^x -1}{x} quand x tend vers 0?

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:37

Oui , je sais ça tend vers 1 on peut faire le calcule par taux d'accroisement donc ça tend vers 1

Posté par
AitOuglifre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:43

Vois-tu pourquoi cela peut te donner la limite de la suite précédente?

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:47

Honnêtement , je ne vois pas du tout par rapport la suite précedente !

Posté par
AitOuglifre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:49

Procède par composition…

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 26-05-22 à 20:52

D'accord je vais essayer ,

Posté par
carpediemre : Somme de Riemann 28-05-22 à 14:02

salut

Sokkok @ 26-05-2022 à 18:59


Calculer integrale à l'aide de la somme riemann :

\int_{0}^{1}{e^{x}dx}
c'est pourtant simple !!

il suffit de trouver une fonction f telle que \lim_{n \to +\infty} \dfrac 1 n \sum_1^n f(k/n) = \int_0^1 e^x dx

d'après la formule rappelée par AitOuglif à 19h35 ...

Posté par
Sokkokre : Somme de Riemann 28-05-22 à 14:04

D'accord Merci


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