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somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres

Posté par tomnovembre (invité) 15-02-07 à 18:52

Bonsoir à tous,
je bloque sur 2 questions de mon DM, si vous pouviez m'indiquer quelques pistes ( c'est la méthode qui me bloque, dans le calcul, ca ira)

On travaille sur E = Mn(R) avec le produit scalaire <a/b> = tr(ta.b)
1/ Soit S une matrice appartenant a l'ensmeble des matrices carrées réelles symétriques d'ordre n :
S = (aij))
=> Montrer que
Double somme de i= 1 à n et j=1 à n des (aij)² = somme i=1 à n des (i)² avec i les valeurs propres de S.

=> je sais par theoreme du cours que S est diagonalisable, donc de la forme PDP-1 ou D = matrices diagonales des valeurs propres, mais je ne vois pas comment introduire la somme des lambda.

2/ soit S appartenant à l'ensemble des matrices carrées réelles symétriques d ordre n
=> montrer que S appartient à l'ensemble des matrices carrées réelles symétriques d ordre n à valeurs propres strictement positives ssi :
tVSV >0 pour tout vecteur propre V.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
kaiser Moderateur
re : somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres 15-02-07 à 18:54

Bonsoir tomnovembre

Pour la 1), tu n'utilise qu'une partie du théorème : on peut s'arranger pour trouver une matrice de passage qui est orthogonale.

Kaiser

Posté par
Cauchy
re : somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres 15-02-07 à 18:57

Salut,

<A,A>=<PDP-1,PDP-1>=<D,D>=somme(lambda i)² non?

Posté par
kaiser Moderateur
re : somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres 15-02-07 à 19:01

Cauchy> je crois vraiment qu'on a besoin d'une matrice de passage orthogonale : le produit scalaire fait intervenir une transposée.

Kaiser

Posté par
Cauchy
re : somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres 15-02-07 à 19:03

Oui j'avais supposé qu'on en avait une

Posté par
kaiser Moderateur
re : somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres 15-02-07 à 19:03

OK !

Kaiser

Posté par tomnovembre (invité)re : somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres 15-02-07 à 20:04

merci pour vos réponses :
donc en fait, si je suis cauchy, il suffit que je dise qu'on peut trouver une matrice de passage orthogonale tq : S = PDP^-1 et donc
somme (aij)² = <PDP-1,PDP-1>=<D,D>=somme(lambda i)²

c'est bien ça ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : somme des coefficient d'une matrice et valeurs propres 15-02-07 à 20:39

C'est ça !

Kaiser



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