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Somme des cos(kt)...

Posté par
Emmebee 19-08-19 à 09:43

Bonjour,
Je passe en CPGE MP et cet été j'ai eu un devoir en mathématiques à faire. Dans ce devoir, on a l'exercice 17 (qui provient du concours de l'X MP) dont l'énoncé se trouve plus bas.

La dernière question me bloque. J'aurais normalement utilisé la formule d'Euler pour calculer 2 sommes géométriques, ou bien le fait que le cos est la partie imaginaire de exp, mais il y a un "En déduire"... Donc je ne vois pas trop :/
De même, j'aurais pu dériver l'expression pour tomber sur un truc que je connais (et j'aurais dis "on primitive" et hop) mais ça ne me dit rien non plus :/
De même pour la récurrence, elle n'a rien à voir avec ce qui a été fait précédemment et les calculs sont trop longs...
J'aurais besoin d'aide s'il vous plaît ^^ (j'ai fait le reste)

Bref, voici l'énoncé :

Si \lambda \in , on notera e_\lambda : \rightarrow la fonction définie pour tout t \in par e_\lambda (t) = e^(i \lambda t) (ce qui est entre parenthèses est dans l'exp)
On pose, pour tout N positif : K_N = 1+\sum_{j=-N}^{N}{(1-\frac{|j|}{N+1})e_j}.

1. Soit t \in . Montrer queK_N (t) = 1+\sum_{j=1}^{N}{(\frac{2}{N+1})cos((N+1-j)t)}

2. Soit t \in \ 2\pi.
(a) Montrer que \frac{sin(\frac{N+1}{2}t)}{sin(\frac{t}{2})} = \sum_{k=0}^{N}{e^(i(\frac{N}{2}-k)t)}.
(Ce qui est dans la parenthèse après e est bien dans l'exponentielle)

(b) i. Soit j \in \left[|-N \right;N|] (intervalle entier). Montrer, avec précision, que :
card\left\{(k,p) \in \left[[|0 \right;N|]² | k+p=N-j \right\}=N+1-|j|
ii. Montrer que K_N (t) = \frac{1}{N+1} (\frac{sin(\frac{N+1}{2}t)}{sin(\frac{t}{2})})². On utilisera les deux questions précédentes ainsi qu'un calcul de double somme.

3. Soit t \in\left]0 \right;2\pi] et N \in . En déduire :
\sum_{k=1}^{N}{cos(kt)}=\frac{sin((N+\frac{1}{2})t)}{2sin(\frac{t}{2})}-\frac{1}{2}.



Voilà. Donc je bloque uniquement à la question 3, et j'ai fais toutes les questions d'avant. Notez bien que le sinus dans la question 3 n'est pas le même que dans la question 2 (b) ii (et l'expression est bien valide).
Merci d'avance et passez une bonne journée !

Posté par
etniopalre : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 11:53

\sum_{k=1}^{N}{cos(kt)}   est la partie réelle de \sum_{k=1}^{N}{exp(ikt)}

Posté par
Zrunre : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 12:53

Utilise la question 1 en faisant un changement d'indice, la somme apparaît naturellement
C'est X MP écrit ou oral ?
Parce que ça me fait penser à Maths C 2017

Posté par
Emmebeere : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 18:55

etniopal @ 19-08-2019 à 11:53

\sum_{k=1}^{N}{cos(kt)}   est la partie réelle de \sum_{k=1}^{N}{exp(ikt)}


Je sais mais le "en déduire" me laisse penser que ce n'est pas comme ça qu'il faut faire :/

Zrun @ 19-08-2019 à 12:53

Utilise la question 1 en faisant un changement d'indice, la somme apparaît naturellement
C'est X MP écrit ou oral ?
Parce que ça me fait penser à Maths C 2017


Je sais pas vraiment si c'est écrit ou oral, ce n'est pas indiqué, après je viens de regarder le sujet Maths C 2017 et en effet ça y ressemble pas mal, néanmoins la somme des cos(kt) n'apparaît nulle part :/
Je ne pense pas que l'exo soit modifié puisqu'il y a un autre exercice avec une mention "modifié" à côté, ce qui n'est pas le cas pour celui-ci ^^

J'essaie ce que tu as dis mais je me suis trompé à la question 1, dans la somme c'est "2j" et non uniquement "2" qui multiplie le cosinus :/

Posté par
WilliamM007re : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 19:28

Citation :
J'essaie ce que tu as dis mais je me suis trompé à la question 1, dans la somme c'est "2j" et non uniquement "2" qui multiplie le cosinus :/

Voilà qui change tout !

Pour tout N\in\N^*, je note S_n=\sum_{k=1}^N\cos(kt).

On a donc
K_N (t) = 1+\sum_{j=1}^{N}{(\frac{2j}{N+1})cos((N+1-j)t)}
=1+\frac{2}{N+1}\left(\cos(Nt)+2\cos((n-1)t)+\cdots+N\cos(t)\right)
=1+\frac{2}{N+1}(S_1+\cdots+S_N)

Donc
S_1+\cdots+S_N=\frac{N+1}{2}(K_N-1)=\frac12\left(\frac{\sin(\frac{N+1}{2}t)}{\sin(t/2)}\right)^2-\frac{N+1}{2}

Donc
S_N=S_1+\cdots+S_N-(S_1+\cdots+S_{N-1})
=\frac12\left(\frac{\sin(\frac{N+1}{2}t)}{\sin(t/2)}\right)^2-\frac{N+1}{2}-\frac12\left(\frac{\sin(\frac{N}{2}t)}{\sin(t/2)}\right)^2-\frac{N}{2}
=\frac12\frac{\sin^2(\frac{N+1}{2}t)^2-\sin^2(\frac{N}{2}t)}{\sin^2(t/2)}-\frac12

Je te laisse finir.

Posté par
Emmebeere : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 22:08

Bonsoir, on tombe bien sur ce qui doit être trouvé avec un peu de trigo. Super astuce la technique du SN=SA+...+SN-(S1+...+SN-1), je la retiendrai
Merci beaucoup pour l'aide, maintenant je vois parfaitement comment faire, merci !
Bonne soirée

(Petite parenthèse : je pense qu'on aurait pu calculer de même la somme des sin(kt) en dérivant par rapport à t avec t qui n'est pas congru à 0 modulo 2pi ^^
Et l'avant dernière ligne comporte une erreur : c'est +N/2 et non pas -N/2, mais ça devait être une erreur de frappe puisque la dernière ligne est juste)

Posté par
lafol Moderateurre : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 23:15

Bonjour
et la somme du 2)a), en regroupant les termes symétriques par rapport à N/2 ? (k = 0 avec k = N, etc), on n'y fait pas apparaître la somme des cos ?

Posté par
Emmebeere : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 23:27

Possible mais dans ce cas il faut distinguer les cas N pair et N impair je pense, car pour N pair, la ligne du milieu n'a pas de symétrique...
Et du coup oui avec une formule d'Euler on se ramène au type de calculs qui a été fait, je pense que ça peut marcher, à voir ^^ (cependant, ça m'a l'air un peu compliqué de se le représenter sans l'écrire, je pense qu'il faudra faire un ou deux changements d'indice et quelques calculs pour se ramener au résultat final)

Posté par
Emmebeere : Somme des cos(kt)... 19-08-19 à 23:27

(désolé pour le double post, mais quand je disais "ligne du milieu" je voulais dire "terme" ^^)


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