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Niveau Maths sup
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Somme des séries

Posté par
Gauss-Tn 03-07-08 à 22:39



Bonsoir  ,

Soit les  affirmations  suivantes

1) 2$\Bigsum_{n=1}^\infty~(\frac{1}{2})^n =1

2) 2$\Bigsum_{n=2}^\infty~n(\frac{1}{2})^{n-1}=4

3) 2$\Bigsum_{n=2}^\infty~n(n-1)(\frac{1}{2})^{n-1}=4

4) 2$\Bigsum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n}(\frac{1}{2})^{n}=log(2)

5)2$\Bigsum_{n=2}^\infty~\frac{1}{n}(\frac{1}{2})^{n}=log(2)-1

6)2$\Bigsum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n(n+1)}(\frac{1}{2})^{n}= -log(2)


1) vrai ( série géométrique)
mais  pour  les autres affirmations  j'ai  pas d'idée alors que  pensez vous ?

Posté par
Fractalre : Somme des séries 03-07-08 à 22:44

Bonsoir

Remplace le 1/2 par X puis intègre

Fractal

Posté par
gui_toure : Somme des séries 03-07-08 à 22:44

Bonsoir,

Les autres sont d'un niveau plus élevé

Tu peux jeter un oeil ici serie numerique

Posté par
lyonnaisre : Somme des séries 03-07-08 à 22:45

Bonsoir

1) Ok

2) Considère :

f(x) = sum(n=2,+oo) xn = x²/(1-x)

f'(x) = sum(n=2,+oo) n.xn-1 = -x(x-2)/(x-1)²

En 1/2, tu obtiens 3 sauf erreurs

Idem pour les autres, introduis une fonction à chaque fois !

Tu essais ?

Posté par
gui_toure : Somme des séries 03-07-08 à 22:45

C'est pas toi qui me disait qu'on n'avait pas le droit ?

Posté par
raymond CorrecteurSomme des séries 03-07-08 à 22:47

Bonsoir.

Pour |x| < 1, on a :

3$\textrm\Bigsum_{n=0}^{\infty}x^n = \fra{1}{1-x}

On peut alors dériver :

3$\textrm\Bigsum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \fra{1}{(1-x)^2}

3$\textrm\Bigsum_{n=2}^{\infty}n(n-1)x^{n-2} = \fra{2}{(1-x)^3}

Posté par
Fractalre : Somme des séries 03-07-08 à 22:48

gui_tou -> J'ai jamais dit qu'on n'avait pas le droit, juste que la justification du fait qu'on a le droit ne nous sera donnée qu'en spé (et il faut que la série converge "assez vite" mais là c'est le cas).

Fractal

Posté par
Gauss-TnSomme des séries 03-07-08 à 23:05

Merci  pour  votre  aide

1) vrai
2)faux  (  égale  à  3)
3)faux  ( égale  à  16)
4)vrai
5)vrai
6)faux
à  vérifier  

Posté par
lyonnaisre : Somme des séries 03-07-08 à 23:08

5) est faux attention

Posté par
lyonnaisre : Somme des séries 03-07-08 à 23:10

6) Tu dis faut je suis d'accord mais dans ce cas tu trouves combien ?

PS : Tous ces questionnaires c'est dans le but de passer un concours ?

Posté par
lyonnaisre : Somme des séries 03-07-08 à 23:10

Lire "faux"

Posté par
Gauss-TnSomme des séries 03-07-08 à 23:58

un  peut long le calcul je l'ai  pas  términer

Posté par
Gauss-TnSomme des séries 03-07-08 à 23:59

PS : en fait  c'est  la  première  partie  d'un concours  qui  contient 50 qcm

Posté par
lyonnaisre : Somme des séries 04-07-08 à 00:18

C'est pas si long que ça si on perle de la 6)

\Large{\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}

Pour |x| < 1 avec x 0

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n+1}

avec :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = -ln(1-x)

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x}[-ln(1-x)-x]

D'où :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n(n+1)} = 1+\frac{(1-x)ln(1-x)}{x}

Et donc :

\Large{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{n(n+1)} = 1-ln(2)

Sauf erreurs
(et merci d'avoir satisfait ma curiosité)

A bientôt

Posté par
Gauss-TnSomme des séries 04-07-08 à 00:33

ahh j'ai  pas  pensé  à  ça  bien jouer  
merci  


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