Bonjour

ce post devrait t'aider


Jord

jmix

Une idée peut être à creuser

1-exp(2ikpi/n) = (1-exp(ikpi/n))(1+exp(ikpi/n))

donc

1/[1-exp(2ikpi/n)] = 1/[(1-exp(ikpi/n))(1+exp(ikpi/n))] = (1:2)/(1-exp(ikpi/n))+(1/2)/(1+exp(ikpi/n))

tu as dissocier en deux sommes qu'il est peut-être possible de tirer qqchose...

Philoux

Merci Nightmare, malheureusement c'est deja des resultats de notre cours que je connaisais deja...

Merci philoux, mais ça complique plus qu'autre chose non ?

Il doit y avoir une astuce mais je la trouve pas...

je sais que le produit des racines de l'unité est egal a et que leurs somme est nulle mais je vois pas comment utiliser ces résultats...

Salut,
si tu mets tout au même dénominateur, ca devrait se simplifier, sauf erreur de ma part.
A+

Oui on retombe sur l'expression du départ....

(re)-Bonjour

le terme général de la suite c'est l'inverse de
donc c'est

Essaie alors de regrouper les angles symetriques par rapport a l'axe des y, ie en sommant de 1 à n/2 (faudra peut-être distinguer les cas pair/impair) et en regroupant k et n-k: les sinus sont alors égaux, et le terme général sera:


Le numérateur se simplifie alors en sinus, qui se simplifie avec celui du bas.
Que quelqu'un me corrige si je me trompe!
Philippe

(re)-bonjour aussi !

Je dois encore te remercier !

Mais je vois pas comment simplifier le numerateur, tu pourrais m'expliquer ?

Merci encore pour ce début !

en dévoloppant l'argument de l'exponentielle de droite, tu fait apparaitre un facteur 1 (avec exp(-in)); il ne te reste plus qu'à ré-utiliser la formule d'euler pour le sinus.
Un facteur 2i apparait alors, qui se simplifie avec celui du bas, et tu trouve le résultat que tu proposais tout à l'heure (n-1)/2. Mais peut-être faut-il faire attention à la parité de n... et je n'ai pas trop fait ici attention aux signes...

ravi d'avoir pu t'aider, c'est mon premier jour sur l'île!

Salut à tous

Pour ne pas galérer avec les signes, la parité éventuelle de n, on peut faire le changement d'indice k donne n-k dans la somme de départ.

En ajoutant cette nouvelle expression à la précedente, on calcule deux fois la somme. Dans chaque somme, on effectue la factorisation préconisée par la_brintouille. EN réduisant au même dénomianteur, on a un truc du style

(1-cos2kPi/n)/(2sinkPi/n)²

qui vaut 1/2 si je ne m'abuse...

Plus de précisions si nécessaire sur demande (la je suis au boulot, alors je passe pas trop de temps sur LaTex...)


A+

en simplifiant l'expression devant le signe "sigma" j'arrive à

+

or = =

=

ainsi


=   (on peut separer ces deux sommes car elles sont finies)
=

donc si jmix90 affirme que la somme est

il faudrait montrer que
  est
nulle.....

ce qui n'est pas possible car la fonction à integrer est strictement positive et continue sur  ]0; ]

salut
soit w=e^(2i*k*Pi/n)
alors voila le plan de ce que j'ai fais :

1) on multiplie et on divise 1/(1-wk) par le conjugue de 1-wk
apres separation partie reelle et partie imaginaire
on obtient 1/(1-wk)=1/2 + i*sin(k*Pi/n)/(2-2cos(2k*Pi/n))

2) par la formule de trigonometrie suivante :

cos(2a)=1-2sin²(a)

on a 1/(1-wk)=1/2+(i/4)*1/(sin(k*Pi/n))

3) on a somme de 1 a n-1 de  1/(1-wk)=[somme de 1 a n-1 de (1/2)] + (i/4)*[somme de 1 a n-1 de 1/(sin(k*Pi/n))]
  
pour le calcul de cette derniere somme (faisant intervenir le sinus) discussion sur la parite de n et on separe la somme en 2...(avec au passage un changement d'indice...)
conclusion somme de 1 a n-1 de 1/(sin(k*Pi/n)) = 0
et du coup on obtiens ton resultat

des reponses plus simples ? il en existe surement ...
et le latex ? Desole trop rouille.
apres une petite absence il faut que je me remette dans le bain.
a+

>minotaure

"conclusion somme de 1 a n-1 de 1/(sin(k*Pi/n)) = 0"

ici n\{0,1}

comme peux tu avoir cette somme nulle puisque sin(kpi/n) est positive et tous ces termes ne sont pas tous nuls

puisque kpi/n[0,] donc le sinus est positif ou nul sur cet intervalle

je suis pas vraiment en accord...

Merci de m'aider autant !


Je n'affirme pas que c'est (n-1)/2, c'est juste un résultat que j'ai trouvé en calculant pour différentes valeurs de n et en extrapolant...

Merci encore ...

(Re)-bonjour,

Oui apparement je me suis planté dans les calculs, ca fait pas (n-1)/2.

Ma calculatrice me dit que ca fait 145 pour n=30 ...

Vous etes de quel niveau d'étude pour trouver des solutions comme ca ?

Vous m'impressionnez !!

En tout cas merci encore !

Salut,

C'est pourtant pas si dur :

pour tout polynome on a :



où les sont les racines du polynome P et P' le polynome dérivé.

Application directe à

Après simplifications 'stoches on trouve que :

et pour X = 1 :

Bon...

Je m'y remets, et je fais un effort sur le Latex...

On appelle I la somme.

1) Changement d'indice de sommation en n-k



2) on somme les deux expressions de I que l'on a:



3) on fait apparaitre dans chaque terme de la somme les arcs moitie (on factorise exp(-ikPi/n) dans l'un des termes et exp(ikPi/n) dans l'autre:



et




4) la somme des deux termes precedents vaut 1 pour tout n...


Alors I = (n-1)/2

Pour ton calcul avec n=30, je sais pas...
Ou alors je me suis plante, mais je vois pas ou...

Non bah c'est moi qui doit avoir du mal !

En tout cas je me répète mais MERCI !

>biondo
"la somme des deux termes precedents vaut 1 pour tout n..."
pourrais tu le montrer?tu es sur que c'est pas la difference qui vaut 1?

>tutu
comment peux tu appliquer ton egalité pour X=1?
il me semble que le terme n'est pas defini
et pourrais tu expliquer ta simplification stp j'ai pas tout suivi...

>aicko
Heu...
Tu rigoles???

les denominateurs sont opposes l'un de l'autre, je me retrouve avec la difference des numerateurs, qui est egale au denominateur...

En tout cas merci biondo, je suis tout a fait d'accord avec ton calcul !

Escuse moi d'abuser encore de ton temps, mais je voulais savoir qu'est ce qui t'as mis sur le bon chemin pour trouver la solution... La méthode en quelque sorte !

aicko, faut juste voir que les exp du denominateur sont pas dans le meme ordre(inversé) pour les deux termes, c'est pour ca que c'est la somme qui vaut 1 et pas la différence.

Merci beaucoup encore a tout ceux qui m'ont aidé !

Et encore une question, c'est peut etre ballot mais tu peux m'expliquer le Changement d'indice de sommation en n-k aussi stp !

Aucun problème jmix90, tu n'abuses pas...

* changement d'indice:

Bon, quand on n'a pas l'habitude, on change le nom de l'indice (un peu comme les changements de variables dans les calculs d'intégrale).

Ici, donc, on pose le nouvel indice de sommation p = n-k
Dans la somme, je peux remplacer k par son expression en fonction de p (soit k=n-p) ce qui donne le terme général (je fais que l'exponentielle, hein...)

exp (2iPi(n-p)/n) = exp(2iPi) * exp(-2iPi*p/n)
avec exp(2iPi) = 1

et faire varier k de 1 a n, c'est faire varier p de n-1 à 1. D'où le résultat.

OK???

* la méthode...

ah... bon.
Alors en fait il y a plusieurs éléments qui mènent à faire les calculs que j'ai présentés.
Si on représente les racines n-ièmes de l'unité dans le plan complexe, au début je me suis dit que faire varier k de 1 à n-1, c'est considérer chacune des racines en tournant dans le sens trigonométrique. C'est donc la même chose en tournant dans l'autre sens... mais en considérant que les racines sont symétriques par rapport à l'axe des x, la racine symétrique de exp(2ikPi/n) est exp(-2ikPi/n).

Ca revient à mon changement d'indice, en fait, mais avec un raisonnement géométrique. J'ai préféré montrer une manipulation purement calculatoire de changement d'indice, c'est tout. Mais à un oral, ca peut faire bonne impression de faire un dessin et de montrer l'argument de symétrie.

A ce moment là, on a deux expressions légèrement différentes de la même chose. On utilise des méthodes calculatoires assez classiques et qu'il faut savoir explorer rapidement au brouillon pour voir ce que ca donne:
1) ajouter les deux expressions et travailler le résultat
2) savoir faire apparaitre les "arcs moitié" dans les expressions du type (1-exp(2ix)), soit en faisant (1-exp(ix))*(1+exp(ix)), soit en faisant apparaitre (exp(ix)-exp(-ix)) (forme que je préfère en général pour sa symétrie en x). C'est ultra classique, ca sert tres souvent.

Voila, c'est à peu près tout...

Bonjour,

Et bah merci beaucoup, ca m'aide a comprendre bcp mieux et ca peut tjr servir ce genre de raisonnement !

Merci beaucoup !

effectivement une erreur s'est glissee dabns mon post. a un moment j'ai oublie un 2 :

"salut
soit w=e^(2i*k*Pi/n)
alors voila le plan de ce que j'ai fais :

1) on multiplie et on divise 1/(1-wk) par le conjugue de 1-wk
apres separation partie reelle et partie imaginaire
on obtient 1/(1-wk)=1/2 + i*sin(2*k*Pi/n)/(2-2cos(2k*Pi/n))

2) par les formules de trigonometrie suivantes :

cos(2a)=1-2sin²(a) et sin(2a)=2*cos(a)*sin(b)

on a 1/(1-wk)=1/2+(i/2)*cotan(k*Pi/n)

3) on a somme de 1 a n-1 de 1/(1-wk)=[somme de 1 a n-1 de (1/2)] + (i/4)*[somme de 1 a n-1 de cotan(k*Pi/n)]

pour le calcul de cette derniere somme (faisant intervenir la cotangente) discussion sur la parite de n et on separe la somme en 2...(avec au passage un changement d'indice...)
conclusion somme de 1 a n-1 de cotan(k*Pi/n) = 0
et du coup on obtiens ton resultat

des reponses plus simples ? il en existe surement ...
et le latex ? Desole trop rouille.
apres une petite absence il faut que je me remette dans le bain.
a+"

voila le post corrige (enfin c'est p'tet pas sur...)

Merci minotaure pour ta solution, mais tu peux juste m'expliquer  le "on separe la somme en 2...(avec au passage un changement d'indice...)"


Merci par avance

somme de 1 a n-1 de cotan(k*Pi/n) = 0 ?

cas : n impair.

somme de 1 a n-1 de cotan(k*Pi/n) = somme de 1 a (n-1)/2 de cotan(k*Pi/n) + somme de (n+1)/2 a n-1 de cotan(k*Pi/n)

pour la deuxieme somme, changement d'indice on prend k'=n-k
d'ou k=n-k'

comme k allait de (n+1)/2 a n-1 k' ira de 1 a (n-1)/2 'en fait de (n-1)/2 a 1 mais comme l'addition est commutative...)

et cotan(k*Pi/n)=cos(k*Pi/n)/sin(k*Pi/n)

et cos(k*Pi/n)=cos[(n-k')*Pi/n]=cos(Pi-k'*Pi/n)=-cos(k'*Pi/n)

et sin(k*pi/n)=sin[(n-k')*Pi/n]=sin(Pi-k'*Pi/n)=sin(k'*Pi/n)

conclusion cotan(k*Pi/n)=-cotan(k'*Pi/n).
on a donc somme de 1 a (n-1)/2 de cotan(k*Pi/n) + somme de (n+1)/2 a n-1 de cotan(k*Pi/n) = somme de 1 a (n-1)/2 de cotan(k*Pi/n) + somme de 1 a (n-1)/2 de -cotan(k'*Pi/n) = 0.

cas n pair
n/2 est entier et cotan((n/2)*Pi/n)=cotan(Pi/2)=0
on peut donc faire
somme de 1 a n-1 de cotan(k*Pi/n) = somme de 1 a (n/2 -1) de cotan(k*Pi/n) + somme de (n/2 +1) a n-1 de cotan(k*Pi/n)

et on refait comme precedemment.

par contre la methode de tutu (celle du 21/07/2005 à 21:51) est la meilleure (chapeau tutu). je me doutais qu'il fallait utiliser la decompostion en elements simples mais j'avais pris 1/(X^n-1) (et paf loupé).
d'ailleurs c'est celle la qui est le plus en rapport avec le programme de math sup (a mon avis).
il faudrait que tu l'etudies et que tu saches la refaire (si ce n'est deja fait).

Je pense également qu'en mettant tout au même dénominateur et en appliquant les formules de Viète à plusieurs polynômes bien choisis, on doit trouver la réponse, mais c'est une grosse intution qui semble marcher dans les cas n petits que j'ai essayé.
A+

Bon,
j'ai mis mon idée sur papier et en fait, de mémoire ce doit être exactement la même que celle de tutu, en effet, regardons ce qui se passe:



Notamment:

Bon ca parrait super barbare comme ca, mais en fait ca se fait bien.
Notamment, mettons ceci de coté, et remarquons que si on pose

Les formules de Viète nous permettent de voir que


Notamment on voit que en posant , on recherche en fait la fraction m/q avec q le coefficient de degré 0 et m le coefficient de degré 1 du polynôme P(X-1).
C'est à dire en fait en posant Q(X)=P(X-1) et , rien d'autre que (-1)ⁿQ'(0)/Q(0).
C'est notamment le résultat de tutu je crois.
Finalement on avait la même idée, mais lui connaissait la formule par coeur.
On s'en sort en posant alors X=0, et on a gagné.
Sauf erreur(s) de calcul très probable(s) (erreur(s) de signe notamment)

En fait on va trouver quelque chose comme

avec N=n-1.
La raison étant que Q'(0) est à peu de chose près la somme des N premiers entiers (sauf erreurs), et le n du dénominateur provient du fait que Q(0) est le produit des 1-exp(2ik/n) qui vaut n (on l'a montré dans un post il y'a 3 jours à peine)
D'où le résultat.
Sauf erreur(s).

Bonjour,


Je ne dispose pas de la formule de viète. Quel est elle ?

Merci !