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Somme (infinie) séparation termes pairs et impairs

Posté par
bouri 23-10-23 à 17:53

Bonsoir,

Il me semble qu'il faut faire attention lors de la séparation des termes d'une somme infinie...
Mais dans quel cas est-il possible que \sum_{n=0}^{\infty} u_n =\sum_{n=0}^{\infty} u_{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} u_{2n+1} ?

Est-ce possible si les 3 sommes convergent ?
Merci d'avance

Posté par
verdurinre : Somme (infinie) séparation termes pairs et impairs 23-10-23 à 18:46

Bonsoir,
si on ne veut pas avoir de problèmes il est recommandé de se limiter aux séries absolument convergentes, c'est à dire les séries telles que  \sum_{n=0}^{\infty} |u_n| converge.
Dans ce cas l'égalité proposée est toujours vraie.

Posté par
bourire : Somme (infinie) séparation termes pairs et impairs 23-10-23 à 19:27

Merci!
Et si elles sont toutes convergentes mais pas absolument convergentes ?

Posté par
moubarak2016re : Somme (infinie) séparation termes pairs et impairs 23-10-23 à 20:03

Bonsoir

Soit \sum u_n, \sum u_{2n} et \sum u_{2n+1} trois séries convergentes

on a :     \sum_{n=0}^{2N} u_n=\sum_{n=0}^{N} u_{2n}+\sum_{n=0}^{N-1} u_{2n+1}

puis passage à la limite

Posté par
Rintarore : Somme (infinie) séparation termes pairs et impairs 24-10-23 à 08:17

Bonjour, j'en rajoute une couche (peut-être inutilement).

Si les séries des termes pairs et la série des termes impairs convergent, alors la série "totale" converge également (voir l'argument de moubarak2016 qui n'est autre que "la somme de deux suites convergentes est une suite convergente"). En revanche, tu as raison dans ton premier message :

Citation :
Il me semble qu'il faut faire attention lors de la séparation des termes d'une somme infinie...


Tu peux voir que la réciproque est fausse avec la série harmonique alternée. C'est ici qu'on voit pourquoi on aime tant travailler avec des séries absolument convergentes (voir message de verdurin). Bonne journée

Posté par
bourire : Somme (infinie) séparation termes pairs et impairs 24-10-23 à 16:39

Merci beaucoup pour vos réponses bien précises

Bonne journée


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