Bonjour,
il y a une astuce classique.
On considère la fonction f définie pour par



et on calcule de deux façons.

Merci de votre réponse.
Il s'agit bien d'une suite géométrique la formule que vous m'avez donné ?
Je ne comprend pas "on calcule xf '(x) de deux façon.
Il faut dériver ??
Merci

Oui, dériver f(x) en utilisant chacune des deux expressions données par verdurin.

Je ne comprend pas pourquoi dériver.
Surtout qu'en dérivant \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}
Je trouve \dfrac{-(n+1)x^{n}{1-x}-(1-x^{n+1})

Désolé pour la fraction j'arrive pas à trouver comment faire ...

La somme des kx^k-1 est la dérivée de la somme des x^k, donc elle est égale à la dérivée de (1-xⁿ⁺¹)/(1-x)

Il suffit ensuite d'appliquer à x=1/4.

on a fait une translation d'indice
on se retrouve avec somme des k/4^k+1/4^k  
donc on doit se débarrasser du somme des 1/4^k
on voudrait calculer cette somme pour k allant de 0 a n, comme ca on pourrait le soustraire a la fin
somme des 1/4^k=somme des (1/4)^k
= suite geometrique de raison 1/4
est ce bien ?

Si S_n = x + 2x² + 3x³ +....+ nxⁿ  on a:
(1 - x)S_n = 1 + x + x² +...+ xⁿ  - (n + 1)xⁿ⁺¹  donc
(1 - x)²S_n= 1 - xⁿ⁺¹ - (n + 1)(1 - x)xⁿ⁺¹

Un peu tard.

donc

et

or , comme somme d'une suite géométrique,

On a donc un formule close pour .

Il ne reste plus qu'a remplacer x par 1/4.

Bonjour
autre méthode, sans utiliser de dérivée, qui rejoint ce que proposait pommedeterre :

si on pose , alors
en posant

du coup


or , donc en ôtant des deux côtés à la dernière égalité :



et donc

En fait c'est que je travail avec "pommedeterre" sur cet exo.
Du coup ce qu'on a fait ( ou bien ce qu'on a compris qu'il fallait faire ^^ ) :
On a dérivé x^k et 1-x^n+1/1-x
On a remplacé x par 1/4 dans les deux sommes
on  a donc obtenu par translation d'indice  : k+1/4^k  
puis on soustrait la somme de la suite géométrique de raison 1/4
puisque k+1/4^k = k/4^k + 1/4^k

Au final :
Sn = Dérivée de 1-x^n+1/1-x      -    somme de la suite géométrique ( 1/4^k)

Je préfère pas donner l'expression trouvée car elle n'est vraiment pas propre et fausse ( en comparant à la main, on ne trouve pas le bon résultat ) on va vérifier si il n'y a pas d'erreur de calcul. Sinon le raisonnement est juste ?

Merci encore pour votre aide!

La version de verdurin si je comprend bien revient au lieu de soustraire la somme de la suite géométrique ( 1/4^k )  à multiplier par 1/4 ?
C'est peut être pour ça que notre résultat semble faux