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Somme Max(i,j)

Posté par
Loro 04-11-18 à 13:44

Bonjour,
Je bloque depuis le début d'année sur cet exo et j'ai toujours pas vraiment compris pourquoi il faut faire comme ceci, même en cherchant ailleurs.
Énoncé :
Pour 0\leq i\leq n et 0\leq j\leq n, quelles valeurs prend l'entier Max(i,j) ? Combien de fois prend-il une valeur k fixée ?

Je crois bien que l'entier Max(i,j) prends (n+1) valeurs car 0\leq Max(i,j)\leq n
Et il prendra (2k+1) valeurs de k fixée

La où je bloque c'est pour trouver \sum_{i=0}^{n}{(\sum_{j=0}^{n}{Max(i,j)})} = \sum_{k=0}^{n}{k(2k+1)}

J'ai essayé de passé par
\sum_{i=0}^{n}{(\sum_{j=0}^{i}{Max(i,j)+\sum_{j=i+1}^{n}{Max(i,j)}})}
Donc \sum_{i=0}^{n}{(\sum_{j=0}^{i}{i}+\sum_{j=i+1}^{n}{j})}
Mais je n'arrive pas au bon résultat ...

Mon prof a fait comme ceci :

\sum_{i=0}^{n}{(\sum_{j=0}^{n}{Max(i,j)})} = \sum_{k=0}^{n}{kn_{k}}=\sum_{k=0}^{n}{k(2k+1)}
Ce que je ne comprends pas pourquoi

Bref, j'ai un peu de mal avec ces maximums ...

Posté par
matheuxmatoure : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:46

bonjour

j'ai du mal à donner un sens à ton énoncé dès le départ !

c'est quoi le "max" d'un couple ?????

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:49

Le Max (i,j) est le maximum entre i et j pour 0\leq i\leq n et 0\leq j\leq n

Fin je vois pas comment expliquer mieux si i vaut 3 et j=5, Max(i,j)=j, soit 5

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:52

Max(i,j)=k si et seulement si :

- i=k et 0\leq j\leq i
ou
- j=k et i supérieur ou égal à 0 et strictement inférieur à k

Posté par
matheuxmatoure : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:53

ah d'accord ! j'y avais vu un couple... c'est l'ensemble formé des nombres i et j ... ok ! max({i;j})

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:53

Ouaip, désolé si c'était pas clair

Posté par
matheuxmatoure : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:54

ta double somme est triviale alors ! pour k allant de 0 à n il prend la valeur k (2k+1) fois ... d'où la formule !

Posté par
Zormuchere : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:55

Bonjour


Indice :  \sum_{j=0}^n\max{(i,j)}=\sum_{j=0}^{i}\max{(i,j)}+\sum_{j=i+1}^n\max{(i,j)}

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:57

matheuxmatou @ 04-11-2018 à 13:54

ta double somme est triviale alors ! pour k allant de 0 à n il prend la valeur k (2k+1) fois ... d'où la formule !


Oui j'imagine que c'est triviale, mais je ne comprends pas poruquoi on écrit que justement c'est égal à la somme pour k allant de 0 à n de k(2k+1)

Zormuche @ 04-11-2018 à 13:55

Bonjour


Indice :  \sum_{j=0}^n\max{(i,j)}=\sum_{j=0}^{i}\max{(i,j)}+\sum_{j=i+1}^n\max{(i,j)}


Ca je sais je l'ai écrit dans mon énoncé, mais en développant je n'arrive pasau bon résultat, je ne pense pas avoir fait d'erreur de calcul mais c'est toujours possible

Posté par
matheuxmatoure : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 13:59

tu considères que tu as sous les yeux TOUTES les valeurs de max(i;j)

tu en fais des paquaets !

ceux qui valent 0 (y'en a qu'un)
ceux qui valent 1 (y'en a 3)
...
ceux qui valent k (y'en a 2k+1)
...
ceux qui valent n

tu fais la somme... la somme du paquet "k" vaut k(2k+1)
et k varie de 0 à n

Posté par
Zormuchere : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 14:00

Oui en effet j'avais pas vu... j'essaie quand même de trouver comme ça on sait jamais !

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 14:03

Bon d'accord je vais pas chercher plus loin alors
Je sais bien que c'est assez trivial mais j'ai un peu de mal a me représenter ces sommes de max, sans aide, je n'aurai fait que la somme de k=0 à n des (2k+1) et non k(2k+1)

Posté par
matheuxmatoure : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 14:05

ben non ! faut quand même sommer les valeurs qu'il y a dans le paquet "k"... elles valent toutes k et il y en a (2k+1) donc ... k(2k+1)

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 14:06

D'accord d'accord
Merci

Posté par
matheuxmatoure : Somme Max(i,j) 04-11-18 à 14:06

pas de quoi

Posté par
flightre : Somme Max(i,j) 05-11-18 à 12:15

salut

une autre voie possible est de faire un tableau i en ligne et j en colonne en y mettant les coefficient Max(i,j)   faire la somme de chaque ligne et sommer toutes les petites obtenues c'est un peu plus long mais bon ..on aime ou pas chacun ses gouts

Posté par
carpediemre : Somme Max(i,j) 05-11-18 à 17:18

salut

ou alors tout simplement se débarrasser d'un symbole

\sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^n \max (i, j) = \sum_{j = 0}^n \max (0, j) + \sum_{j = 0}^n \max (1, j) + ... + \sum_{j = 0}^n \max (n, j) = ...



ou encore :

\sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^n \max (i, j) = \sum_{k = 0}^n \sum_{\max (i, j) = k} k = ...

sachant que \{(i, j) \in [[0, n]]^2 / \max (i, j) = k\} = \{(i_,j)  /  i = k$ et $ j \le k\} \cup \{(i, j)  /  j = k $ et $ i \le k\}


que de choix ...

Posté par
matheuxmatoure : Somme Max(i,j) 05-11-18 à 17:48

oui Carpe, ta deuxième méthode rejoint la mienne ...

Posté par
Zormuchere : Somme Max(i,j) 05-11-18 à 21:52

Ah mais en fait si on relit le post de départ, tu avais déjà trouvé la solution :

Citation :

Énoncé :
Pour 0\leq i\leq n et 0\leq j\leq n, quelles valeurs prend l'entier Max(i,j) ? Combien de fois prend-il une valeur k fixée ?

Je crois bien que l'entier Max(i,j) prends (n+1) valeurs car 0\leq Max(i,j)\leq n
Et il prendra (2k+1) valeurs de k fixée


Il suffisait de retraduire tout cela dans une nouvelle somme avec k et 2k+1

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 06-11-18 à 21:12

Et bien oui j'avais déjà la soluce et compris la majeure partie, mais je ne comprenais pas pourquoi faire la somme des k(2k+1) et non pas simpement des (2k+1)
Sinon c'est cense marcher de faire comme j'avais proposer ?

Zormuche @ 04-11-2018 à 13:55

Bonjour


Indice :  \sum_{j=0}^n\max{(i,j)}=\sum_{j=0}^{i}\max{(i,j)}+\sum_{j=i+1}^n\max{(i,j)}


Cependant quand je le fais, je n'aboutis pas au bon resultat ...
Du coup erreur de calcul ou ca ne marche pas ?

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 06-11-18 à 21:14

J'ai cite Zormuche mais je l'ai propose dans mon 1er post

Posté par
Zormuchere : Somme Max(i,j) 06-11-18 à 22:05

Ca marche sans doute mais ce sera plus long ! C'est un bon exercice a faire pour se détendre

Posté par
carpediemre : Somme Max(i,j) 07-11-18 à 11:21

Loro @ 06-11-2018 à 21:12

Et bien oui j'avais déjà la soluce et compris la majeure partie, mais je ne comprenais pas pourquoi faire la somme des k(2k+1) et non pas simpement des (2k+1)
Sinon c'est cense marcher de faire comme j'avais proposer ?
Zormuche @ 04-11-2018 à 13:55

Bonjour


Indice :  \sum_{j=0}^n\max{(i,j)}=\sum_{j=0}^{i}\max{(i,j)}+\sum_{j=i+1}^n\max{(i,j)}


Cependant quand je le fais, je n'aboutis pas au bon resultat ...
Du coup erreur de calcul ou ca ne marche pas ?

ben tout simplement parce que le maximum k apparait 2k + 1 fois dans la somme !!!

il suffit de lire nos interventions !!

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 15-12-18 à 18:20

J'ai refais le calcul en développant les sommes, sans passer par l'astuces des k(2k+1)

\sum_{i=0}^{n}{(\sum_{j=0}^{i}{i}+\sum_{j=i+1}^{n}{j})}

Et ça marche bien finalement

Posté par
carpediemre : Somme Max(i,j) 15-12-18 à 18:50

et pourquoi ça ne marchait pas avant ?

Posté par
Lorore : Somme Max(i,j) 16-12-18 à 21:29

Oui, j'avais du faire une erreur de calcul ...


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