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somme nombre complexe

Posté par
solidad01 30-09-18 à 13:07

Bonjour tout le monde , j'espère que vous allez bien.

Depuis hier , je bloque dans l'exercice suivant :

Soit n un entier naturel impair.

on pose : w=e^\frac{i2k\pi}{n} et S=\sum_{k=0}^{n-1}{w^{k²}}

1) Ecrire lSl² comme une somme double , puis montrer que : lSl²=\sum_{k=0}^{n-1}{\sum_{p=-k}^{n-k-1}{w^{2pk+p²}}}

2)a) Montrer que la fonction \left\lbrace\begin{matrix} \Z\to \C\\ p\mapsto w^{2pk+p²} \end{matrix}\right. est n-période pour tout k de [0,n-1]

b) En déduire pour tout k de [0,n-1] une écriture simplifiée de \sum_{p=-k}^{n-k-1}{w^{2pk+p²}}

Je bloque à la question 2 b) s'il vous plait

Posté par
DOMOREAsomme nombre complexe 30-09-18 à 15:04

bonjour,

p+n----->w^{2(p+n)k+(p+n)^2}


w^{2(p+n)k+(p+n)^2}=e^{i\frac{2k\pi}{n}(2pk+2nk+2np+n^2+p^2}=e^{\frac{2k\pi}{n}(n(2k+2p+n)+2pk+p^2)}=e^{i2m\pi}\times e^{i\frac{2k\pi}{n}(2pk+p^2)}=w^{2pk+p^2}

donc f(p+n)=f(p)

pour 2)b) Il me semble c'est la somme des racines nîème d'un complexe , à toi de voir de quel complexe et la somme est la somme partielle d'une suite géométrique

Posté par
luzakre : somme nombre complexe 30-09-18 à 15:55

Bonjour solidad01 !
Tu dois faire une sommation sur l'indice p et l'exposant de \omega est r=2pk+p^2,\;k fixé.
Tu cherches les bornes de l'intervalle d'entiers décrit par r et tu découpes cet intervalle en tranches de longueur n (il y aura peut-être un dernier intervalle ayant strictement moins de n termes).
Les sommes, sur chaque intervalle de n éléments sont égales (à cause de la périodicité et tu trouveras un résultat qui ne devra pas te surprendre) et tu dois simplement multiplier cette valeur par le nombre d'intervalles complets.
S'il reste un intervalle incomplet, tu ajoutes la somme des \omega^r pour r dans ce dernier intervalle.

Posté par
solidad01re : somme nombre complexe 30-09-18 à 17:41

luzak @ 30-09-2018 à 15:55



Tu cherches les bornes de l'intervalle d'entiers décrit par r et tu découpes cet intervalle en tranches de longueur n.


J'ai pas compris cette phrase s'il vous plaît

Posté par
luzakre : somme nombre complexe 30-09-18 à 18:23

Un intervalle d'entiers est l'ensemble des entiers comris entre deux bornes, le plus grand des entiers et le plus petit.
Tu dois les chercher.

Si ces bornes sont 2 et 9+3n,\;n=6 tu as le découpage [2,7],[8,13],[14,19],[20,25],[26,27]

Posté par
solidad01re : somme nombre complexe 01-10-18 à 08:25

ouii j'ai compris , je vous remercie

Posté par
carpediemre : somme nombre complexe 07-10-18 à 12:41

salut

w^{2kp + p^2} = w^{(p + k)^2} w^{-k^2}

Posté par
luzakre : somme nombre complexe 07-10-18 à 14:40

Etant donnée la question posée initialement (calcul de la somme des \omega^k^2}), ton identité fait un "tournage en rond".

Posté par
carpediemre : somme nombre complexe 07-10-18 à 14:58

je sais ... c'est juste pour l'expliciter clairement ...

Posté par
Amine36re : somme nombre complexe 08-10-18 à 23:01

oh merci solidad pour poster l'exercice     


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