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Sommess

Posté par
Taf88 31-08-18 à 06:48

Bonjour jai besoin d'aide.montrer que.somme k=1 jusqua n (1/C^k_(n))=(n+1)/2^(n+1)somme k=1 jusqua n+1  de    2^k/k.remarque C^k _n est le coefficient binimiale

Posté par
luzakre : Sommess 31-08-18 à 08:05

Bonjour !
Revois ton énoncé : c'est faux pour n=1,\;n=2.

Posté par
lakere : Sommess 31-08-18 à 09:06

Bonjour,

La première somme commence à k=0 et là, la formule est correcte.

Posté par
Taf88re : Sommess 31-08-18 à 11:03

Merci lake ,,  lusak la premier somme commence de 0.

Posté par
lakere : Sommess 31-08-18 à 11:04

Si on note u_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{\binom{n}{k}}

On montre que u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2n+2}\,u_n+1

La récurrence est ensuite facile.

Posté par
carpediemre : Sommess 31-08-18 à 23:50

salut

Taf88 pose bien des exercices ... mais n'en finit pas beaucoup ...

voir par exemple Arithmetiquesssautrement plus simple (niveau collège) que celui-là ...

Posté par
Razesre : Sommess 01-09-18 à 01:50

Bonsoir,

@lake, ce n'est pas l'énoncé que tu as posté.

Voici un indice  : \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{k}1^{n-k}

Posté par
lakere : Sommess 01-09-18 à 07:05

Citation :
@lake, ce n'est pas l'énoncé que tu as posté.


Posté par
Taf88re : Sommess 01-09-18 à 08:26

Salut carpediem .quand je comprends je continue l'exercice chez moi.merci

Posté par
lafol Moderateurre : Sommess 01-09-18 à 16:46

Bonjour

Razes @ 01-09-2018 à 01:50

Bonsoir,

@lake, ce n'est pas l'énoncé que tu as posté.

Voici un indice : \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{k}1^{n-k}

y'en a qui ont besoin de lunettes ?
Taf88 @ 31-08-2018 à 06:48

Bonjour jai besoin d'aide.montrer que.somme k=1 jusqua n (1/C^k_(n))=(n+1)/2^(n+1)somme k=1 jusqua n+1 de 2^k/k.remarque C^k _n est le coefficient binimiale

Posté par
Razesre : Sommess 01-09-18 à 16:52

Bonjour,
Désolé,  je n'ai pas vu le 1, au lieu de lunettes je dois mêtre coucher plutôt.

Posté par
lafol Moderateurre : Sommess 01-09-18 à 16:55

c'est vrai que faire des maths aux petites heures de la nuit, ce n'est guère raisonnable

Posté par
Taf88re : Sommess 02-09-18 à 18:45

Au secour pour la suite de lake

Posté par
lakere : Sommess 02-09-18 à 19:25

>> Taf88,

On va faire un marché:

Avec u_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{\binom{n}{k}}

et  u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2n+2}\,u_n+1 (1) qu'on va admettre pour l'instant, tu vas démontrer par récurrence que:

   u_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\,\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{2^k}{k}

Bien entendu, je veux voir ici ta récurrence en particulier l'hérédité. Ce n'est pas difficile.

Une fois fait, je te donnerai une démonstration de (1) qui est plus difficile voire un peu "technique".

La balle est dans ton camp...

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 16:17

Pour n=1 on a u_1=2

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 16:22

On suppose que u_n=(n+1)/2^(n+1)somme k=1 jusqu'a n+1 2^k/k

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 16:30

On demontre que la relation est vraie au rang n+1

Posté par
lakere : Sommess 03-09-18 à 19:43

Ton initialisation est un peu curieuse; on peut la faire au rang 0:

On a u_0=1 et \dfrac{0+1}{2^{0+1}}\,\dfrac{2^1}{1}=1

Pour l'hérédité:

  On suppose que pour un certain rang n entier positif fixé, on a:

    u_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\,\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{2^k}{k}

Il s'agit de démontrer qu'alors:

   u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2^{n+2}}\,\sum_{k=1}^{n+2}\dfrac{2^k}{k}

C'est le moment d'utiliser la relation de récurrence vérifiée par la suite (u_n) que je t'ai fournie sans démonstration pour l'instant:

   u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2n+2}\,u_n+1

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 19:49

Veuillez me donne une piste pour lq demontration au rang n+1

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 19:51

On doit demontrer que les deux relations sont equivalentes?

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 19:58

Je vois que on peut remplacer u_n par son expression  dans la relation (1).pour montrer le resultat au rang n+1.mai jusqua present on a pas prouve la relation (1)

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 20:08

Veuillez me propope la demontration de la relation (1).

Posté par
Taf88re : Sommess 03-09-18 à 20:21

MDR la promesse est dette.

Posté par
lakere : Sommess 04-09-18 à 09:34

Citation :
Je vois que on peut remplacer u_n par son expression  dans la relation (1).pour montrer le resultat au rang n+1.


Oui mais nous, on n'a rien vu.

Citation :
Bien entendu, je veux voir ici ta récurrence en particulier l'hérédité.


  Tu postes l'hérédité de la récurrence avant toute chose.

Posté par
Taf88re : Sommess 04-09-18 à 13:02

U_(n+1)=(n+2)/(2n+2)*(n+1)/(2^(n+1))somme k=1 jusqu'a n+1 de( 2^k/k)+1=(n+2)/2^(n+2) somme k=1 jusqu'a n+1 de 2^k/k+1=(n+2)/2^(n+2) somme k=1 jusqu'a n+2 de 2^k/k cqfd

Posté par
lakere : Sommess 04-09-18 à 14:55

Bien, alors allons-y:

u_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{\binom{n}{k}}

u_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\dfrac{1}{\binom{n+1}{k}}=1+\sum_{k=0}^n\dfrac{k!(n+1-k)!}{(n+1)!} (en sortant le terme pour k=n+1 de la somme).

On calcule le produit (2n+2)\,u_{n+1}:

(2n+2)\,u_{n+1}=2n+2+2\,\sum_{k=0}^n\dfrac{k!(n+1-k)!}{n!} (en simplifiant par n+1 dans la somme).

(2n+2)\,u_{n+1}=2n+2+\sum_{k=0}^n\dfrac{k!(n+1-k)!}{n!}+\sum_{j=0}^n\dfrac{(n-j)!(j+1)!}{n!} (On écrit que deux fois la somme = somme + somme et on fait le changement d'indice j=n-k dans la seconde).

(2n+2)\,u_{n+1}=2n+2+\sum_{k=0}^n\dfrac{k!(n-k)!}{n!}\,(n+1-k+k+1) (On regroupe les deux sommes et on factorise).

(2n+2)\,u_{n+1}=2n+2+(n+2)\,\sum_{k=0}^n\dfrac{k!(n-k)!}{n!}=2n+2+(n+2)\,\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{\binom{n}{k}}

(2n+2)\,u_{n+1}=2n+2+(n+2)\,u_n

u_{n+1}=\dfrac{n+2}{2n+2}\,u_n+1

En fait si on définit (v_n) par v_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{2^k}{k}, on a:

   - u_0=v_0
   - (u_n) et (v_n) vérifient la même relation de récurrence (du premier ordre).

Donc u_n=v_n pour tout entier naturel n.

Posté par
Taf88re : Sommess 04-09-18 à 16:22

Merci vous etes fort.


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