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Niveau maths spé
Sous groupe des racines de l'unité
Posté par Toufic
Bonjour,
Dans un exercice je dois montrer qu'une fonction f definie comme ce qui suit est bijective:
Pour un certain entier n non nul, f part de l'ensemble des diviseurs de n, et arrive dans l'ensemble des sous-groupes des racines n-ième de l'unité.
Pour un diviseur k de n, elle associe le sous groupe des racines k iem de l'unité.
On nous propose de montrer que la réciproque est le fonction g, qui à un sous groupe du groupe des racines n-ième de l'unité associe le cardinal du sous groupe.
Il est immédiat que gof=Id(D(n))
Pour montrer que fog=Id(ensemble des sous groupes de Un), je souhaite montrer que les sous groupes de Un sont exactement les Uk, k divisant n
C'est la que je bloque :/
L'ordre d'un sous groupe est bien le cardinal du groupe lorsque celui-ci est monogène?
Parce que je ne vois toujours pas :p
C'est vrai, mais c'est une question qui arrive plus tard dans mon dm, donc je n'ai pas le droit d'utiliser ce résultat
re,
G={g,g 2,g 3,...g n}
essaye de construire un sous-groupe de G qui ne soit pas monogène.
exemple soit H engendré par gs et gu avec
considére le pgdc(s,u) alors ce sous-groupe est engendré par
Ah j'ai peut-être une solution pour montrer que f(q)=H
Je veux montrer que si un sous groupe H de Un est de cardinal k, alors ce sous groupe est egal a Uk
Pour tout x dans H, x^k=1 car k=#H
Donc H inclus dans Uk
Et #H=#Uk
Donc H=Uk
Ça marche comme ça?
Bonsoir !
Oui pour le dernier message.
Mais non pour çà :
Toufic @ 10-11-2016 à 16:16
L'ordre d'un sous groupe est bien le cardinal du groupe lorsque celui-ci est monogène?
Parce que je ne vois toujours pas :p
L'ordre d'un sous groupe est bien le cardinal du groupe lorsque celui-ci est monogène?
Parce que je ne vois toujours pas :p
On définit l'ordre d'un groupe fini comme étant son nombre d'éléments, qu'il soit monogène ou pas.
La seule particularité est que dans un groupe monogène d'ordre
"On definit l'ordre d'un groupe finit comme étant son nombre d'élement"
Et le nombre d'éléments, c'est bien le cardinal non?
Au lieu de préciser le mot cardinal, ce que tout le monde connait tu devrais relire ce que tu as écrit :
Citation :
...lorsque celui-ci est monogène?
...lorsque celui-ci est monogène?
Je n'ai critiqué rien d'autre !