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Sous-variétés différentiables

Posté par
fusionfroide
10-05-08 à 16:20

lu' :=)

On considère : \alpha : [\theta-\frac{\pi}{2},\theta+\frac{\pi}{2}]->\mathbb{R^2} qui à t associe e^{it}

On a que la restriction de \alpha à l'intervalle ouvert ]\theta-\frac{\pi}{2},\theta+\frac{\pi}{2}[ est un plongement de classe C^{\infty}

Son image est un ouvert de S^1 (ensemble de départ) qui contient x, c'est donc un paramétrage local de S^1 au voisinage de x.

Maintenant, comment en déduire que c'est une sous-variété diff de \mathbb{R^2}, de classe C^{\infty} et de dimension 1 ?

merci

Posté par
robby3
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 16:40

Salut
euh un plongement c'est une immersion?
parce qu'en fait moi j'avais vu un théoreme du genre que pour une immersion i tel que i(0)=x...alors il existait un voisinage de 0 ,qu'on appelle U tel que i(U) soit une sous-variété...ça s'appellait paramétrage local d'une sous-variété...
je sais pass i ça t'aide ou si ça te dit quelque chose

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 16:45

Salut robby,

Oui ça me dit quelque chose

Autant donner les définitions :

Définition 1 : Soit M un sous-ensemble quelconque de \mathbb{R^n} et x\in M. On appelle paramétrage local de M au voisinage de x tout plongement g : U \subset \mathbb{R^p}->\mathbb{R^n} défini sur un ouvert U de \mathbb{R^p} tel que g(U) est un ouvert de M contenant x

En gros, ce que j'ai compris, c'est qu'une sous-variété différentiable admet un paramétrage au voisinage de chacun de ses points.

Définition 2 :

Un plongement g est tel que :

>> g est injective
>> g différentiable de classe C^k
>> la différentielle est injective
>> l'aplication g^{-1} est continue

Posté par
robby3
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 16:49

oué ok,
un plongement,c'est bien une immersion alors

Citation :
c'est qu'une sous-variété différentiable admet un paramétrage au voisinage de chacun de ses points

>oui voilà

comme ton plogement est C^{\infty}
ta sous-variété aussi,et comme dim(R^2)-dim(S^1)=1 elle est de dimension 1....
j'espere ne pas avoir dit trop de bétises

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 16:53

En fait, on a juste revu la définition d'immersion locale C^k en un point x : il faut que l'application soit C^1 bau voisinage de x et que d_xf soit injective.

Donc immersion "tout court" = plongement ?

Je réfléchis au reste de ton message ! Merci encore !

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 16:53

Citation :
il faut que l'application soit


soit C^k...

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:03

Mais pourquoi faut-il faire la différence entre ces deux dimensions ?

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:03

Effectivement je l'ai pris en note mais je n'ai pas mis l'explication

Posté par
robby3
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:10

Citation :
immersion "tout court" = plongement ?

>euhh bah d'aprés ce que tu me dis sur ce qu'est un plongement...c'est un plongement tout court qui serait une immersion

Citation :
Mais pourquoi faut-il faire la différence entre ces deux dimensions ?

>euh ça,si mes souvenirs sont bons,ça vient de la matrice jacobienne...
en fait je sais pas si t'as les memes méthodes que nous...mais en gros,ton application \alpha est un plongement donc une immersion,ça veut dire que la différentielle de \alpha est injective donc que sa matrice jacobienne est de rang maximale(égale à la dimension de l'espace de départ=1).
Sauf erreur

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:17

Citation :
ton application  est un plongement donc une immersion,ça veut dire que la différentielle de  est injective donc que sa matrice jacobienne est de rang maximale(égale à la dimension de l'espace de départ=1).


Toutafé d'accord !

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:17

bon je devrai pouvoir m'en sortir avec ces indications !

Merci robby

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:19

Pour info, notre prof de calcul diff 2 a eu la merveilleuse idée de laisser planer le doute quant à la présence ou non d'exos sur les sous-variétés au partie...

en même temps, nous n'avons fait que deux exos, et d'autre part, il ne donne aucune question de cours

Posté par
robby3
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:23


Attend quand meme confirmation de Camélia
parce que bon...j'y ai pas touché depuis plus de 2 semaines...et j'ai fait le vide

les sous-variétés c'est pas mal important quand meme...enfin aprés ça dépend de ce que vous faites en cours aussi

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:25

Bah en cours on a énormément bosser le repère de Frénet, les courbes paramétrées et les surfaces

Bon bah si Camélia passe par là ^^

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:25

Mais bon ça m'a l'air cohérent tout ce que tu racontes

Posté par
robby3
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:29

Citation :
Mais bon ça m'a l'air cohérent tout ce que tu racontes

>moué

ah oui les formules de Frenet,les courbes paramétrées...on a eu un super exam sur ça
on s'est bien amuser,je peux te le scanner si tu veux

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:31

Ah ouais ça serait vraiment sympa ! (je le passe mercredi )

Merci ^^

Posté par
robby3
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:33

je t'envoie ça!
si vous avez fait les formes différentielles,t'as de quoi t'amuser aussi!.
Bonne continuation

Posté par
fusionfroide
re : Sous-variétés différentiables 10-05-08 à 17:55

merci



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