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Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:48

Pourriez vous me donner la rédaction du 1) s'il vous plait ?

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:54

tout est bon sauf la propriété que tu veux montrer (et qui sera ton hypothèse de récurrence)

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:55

Quel doit être alors la propriété de récurrence ?

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:19

carpediem @ 20-10-2019 à 19:39

Citation :
--> Pk : "  x = ck appartient à C "pour tout k appartenant à N
la propriété est fausse ...


si c'est vrai pour tout k alors il n'y a plus rien à montrer !!

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:23

Je crois que sa propriété est uniquement la partie entre guillemets. Mais c'est effectivement ambigu !

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:30

Mais une récurrence ne marche que sur N. C pour cela que j'ai d'abord pris k appartenant à N

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:33

oui mais ton écriture est imprécise dans ce que je cite ...

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:34

Ce que veut dire carpediem, c'est que ta propriété doit bien être
Pk: "ck appartient à c", et non pas Pk = "ck appartient à c pour tout k dans N".

Écris plutôt : pour tout k dans N, montrons Pk : "ck appartient à c".

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:35

Si j'écris la propriété suivante :
Pk : x=ck appartient à C pour tout k appartenant à N.

Est ce juste ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:36

Maintenant, comment faire le 2) ?

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:37

Non, là ça devient carrément faux, comme l'a expliqué carpediem.

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:38

Comment peut prouver le 2)

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:38

Pour la 2), écris x = qc + r la division euclidienne de x par c, et montre que r est nul. Commence par montrer que r est dans C.

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:39

oui comme Seon le propose c'est très bien ...

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:48

Bon, je pense savoir comment faire le 2). Pourriez vous m'aider pour le 3) ?

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:51

Ré-exprime ce que tu as montré dans la 2) en termes ensemblistes.

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:51

(Si c|x, dans quel ensemble est x ?)

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:54

Là, je n'ai pas compris, notamment termes ensemblistes

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:57

Pas grave, laissons les termes techniques de côté. Si c|x, dans quel ensemble se trouve x ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 20:59

Voilà ma réponse au 3) :
c | x implique que c = x
Or, c appartient à cZ
Donc, x appartient à cZ
Comme x appartient à C, cZ = C

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 21:06

Voila ma réponse pour le 2), n'hésitez pas à me faire part de mes erreurs :

*Soit x appartenant à C
*Comme x appartient à C et cZ est inclus dans C, il existe k appartenant à Z tel que x=ck

*Comme x = ck = ck + 0, c divise x par définition
* Division euclidienne de x par c avec q appartenant à Z:
x = cq + 0
et 0 <= 0 < | c |

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 22:10

Attention, tu confonds inclusion et égalité d'ensembles.
On dit que A est inclus dans B si tout élément de A appartient à B. Mais ça ne veut pas dire que les ensembles sont égaux, tu peux avoir des éléments dans B qui ne sont pas dans A. Par exemple, \{1,2,3\} \subset \{-8, 1, 1.5, 2, 3, 4\} mais tu n'as pas égalité

Tu as pris x un élément quelconque de C et montré qu'il était dans cZ, ça démontre que tout élément de C est dans cZ, donc seulement que C est inclus dans cZ.

En revanche, à la question 1), tu avais déjà montré que cZ est inclus dans C, et si A est inclus dans B (tout élément de A est dans B) et B inclus dans A (tout élément de B est dans A), alors A = B.
Donc tu peux conclure que C = cZ, mais seulement en utilisant la question 1).

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 22:15

Même confusion pour la question 2). Vois la figure ci-dessous, cZ inclus dans C ne veut pas dire que tous les éléments de C ont la forme kZ. Seulement que tous les éléments de la forme kZ sont dans C. Tu pourrais a priori avoir des éléments de C qui ne s'écrivent pas du tout kZ.

Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 22:16

*kc, pas kZ à la fin de mon message précédent.

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 17:51

Bonjour pourriez vous me donner une piste plus explicite pour la 2) svp? Merci

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 17:57

Bonjour,
As-tu réussi à montrer que le reste dans la division euclidienne de x par c est dans C ?
C'est la première étape.

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 18:13

Tout d'abord dois-je poser la division euclidienne suivante (?) :
x = qc + r   ( q appartenant a Z et r a N ).

Ensuite, on a x qui appartient C ( cf énoncé ).
De plus, qc appartient a C ( avec q appartenant à Z ) car c appartient C.
Comme x = qc + r alors r appartient à x ?

Je pense cela bien faux et mal rédigé.... dites moi ce que vous en pensez, merci.

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 18:16

si x et qc appartiennent à C que peut-on dire de r = x - qc ?

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 18:27

r appartient a C pardon je ne voulais pas écrire r appartient à x.

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 18:29

Donc mon raisonnement est bon?
A quoi cela me sert de dire que r appartient a C si je considère ensuite que r vaut 0?

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 18:30

Tu dois montrer que r vaut 0. Ce n'est pas encore fait !
Juste pour vérifier que tu as compris, quelle propriété est-ce que tu utilises pour  déduire que r est dans C ?

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 18:40

J'ai raisonné ainsi:
On pose : x = qc + r (q appartient a Z et r a N)
Donc r = x - qc.
Or, x appartient a C et qc appartient a C avec q appetant a Z car c appartient c.
Donc x - qc appartient a C et par conséquent ( comme r = x - qc ) r appartient a C.

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 18:42

N'ayant jamais fait ce genre d'exercice auparavant, je reste septique face à la rédaction et à la rigueur de mes explications...

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 19:02

Kekeee @ 22-10-2019 à 18:29

Donc mon raisonnement est bon?
A quoi cela me sert de dire que r appartient a C si je considère ensuite que r vaut 0?
quelle est la définition de c ?

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 19:21

C est un sous-groupe de Z.

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 19:22

Et c est le plus petit element de C inter N*.

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 19:29

Et dans quel ensemble est c ?

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 19:30

Pardon, r

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 20:12

r ( le reste ) est appartient à N

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 20:32

Oui, mais tu peux être plus précis : si je te demande d'encadrer r ?

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 20:38

Oui, 0=< r < | c | dans Z si on admet que x = qc + r

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 20:46

Je ne vois pas ou vous voulez en venir, pouvez vous le donnez les étapes respectives et surtout leur intérêt afin je puisse comprendre et si jamais je bloque sur une je vous ferai appel. Merci

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 22-10-19 à 21:32

Ne t'inquiète pas, tu y es!
On a donc c le plus petit élément de C \cap \mathbb{N}^*. Et r un élément de C \cap \mathbb{N} strictement inférieur à c. Que peux-tu en déduire sur r ?
(Si jamais tu ne vois pas, tu peux supposer par l'absurde que r est non nul et ça tombe tout seul).

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 23-10-19 à 01:25

Je vois ou vous voulez en venir : r serait égale à zéro, mais comment peut on en être sur? Ça ne serait pas supposer que tout les éléments constituant C sont strictement positifs? Or il est bien écrit que dans l'énoncé que C est un sous groupe de Z ???
Donc j'imagine le cas ou c= - 6 alors :
0=< r < | - 6 |

Je dois sûrement faire une erreur dans mon raisonnement, n'hésitez pas à me le faire remarquer et je ne sais pas si toutes les questions que je me pose sont légitimes ou non. Merci beaucoup pour votre attention!

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 23-10-19 à 12:22

Tu as étudié ce qu'est un sous-groupe ?
Un sous-groupe additif vérifie une propriété dite de "stabilité par passage à l'opposé" : x \in C \implies -x\in C
Donc dès que C \neq \{0\}, C \cap \mathbb{N}^* est non vide, et son plus petit élément c est forcément positif.

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 23-10-19 à 14:57

Je ne suis qu'en terminale donc je n'ai, moi non plus, pas étudié les sous groupes. Donc toute ces notions me paraissent ambiguës. Cependant, cet exercice nous est bel et bien demandé donc je m'efforce tout de même à trouver une solution.

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 23-10-19 à 17:29

C'est assez ridicule de vous donner sous ces conditions un exercice pareil... Tu ne devrais plus avoir trop de problèmes à finir, mais n'hésite pas si tu as encore des questions ou veux qu'on vérifie tes raisonnements !

Posté par
Kekeee
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 23-10-19 à 18:40

Merci encore je pense m'être débrouillé comme je pouvais...

Posté par
lilian4444
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 01-11-19 à 18:10

J'ai eu le meme exo à faire sans avoir rien vu...  Vous etes du lycée Albert Einstein a Bagnols sur ceze les gars?

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