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Niveau terminale
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Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z

Posté par
Elios1597
20-10-19 à 11:08

Bonjour,

Voici un exercice auquel j'ai un grand mal à débuter une réponse :

- Il s'agit de prouver que pour tout groupe C de Z, il existe un c appartenant à N tel que
C = c Z ( soit c Z l'ensemble des multiples de c )
1) Soit c le plus petit élément de C inter N*. Prouve que cZ est inclus dans C
2) Soit x appartient à C. A l'aide d'une division euclidienne judicieuse, prouve que c divise x
3) En déduire que C = c Z

J'espère tomber sur une âme charitable me permettant de finir cet exercice.

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 13:30

Bonjour,
Ceci est un exercice de Terminale ?! Vous avez fait de la théorie des groupes ?
Est-ce que tu as réussi à faire quelque chose, ou tu bloques complètement ?

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 13:33

salut

Citation :
J'espère tomber sur une âme charitable me permettant de finir cet exercice
un peu de sérieux pour être précis et nous dire ce que tu as fait !!

ensuite il n'y a qu'à suivre ce qui est écrit ...

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:07

Le problème, c'est que je ne sais pas du tout comment commencer. La seul chose que je peux dire, c'est que dans le 1), c = 1
Après je ne vois pas du tout comment démontrer le reste.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:17

Bonjour,
Pourquoi ne pas répondre aux questions qu'on te pose :

Citation :
Ceci est un exercice de Terminale ?! Vous avez fait de la théorie des groupes ?

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:19

Non, tu n'as même pas c=1. Par exemple, 2\mathbb{Z} est un sous-groupe de \mathbb{Z} mais tu auras c=2.

Ok, quelques indications.
Pour la 1), on va déjà supposer que C \neq \{0\}, sinon c n'est pas défini.
Tu veux montrer que c \mathbb{Z} \subset C, ie \forall x \in c \mathbb{Z},  x \in C . Ici, cela revient à montrer que pour tout entier relatif k, k\times c \in C. Commence par montrer cette propriété par récurrence pour k \in \mathbb{N}, puis déduis-la pour k \in \mathbb{Z} par stabilité de C par passage à l'inverse.
Pour la 2), écris x = qc + r, utilise la question 1 pour remarque que r est dans C et conclus à  l'aide de la minimalité de c.

Bonne chance !

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:29

Je ne comprend pas pourquoi c n'est pas égale à 1 dans le 1) alors que c est considéré comme le plus petit élément de C inter N*

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:31

De plus, dans le 1), je ne sais pas comment déduire k appartient à Z par stabilité de C par passage à l'inverse.

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:34

Lis mon contre-exemple avec C= 2Z, et dis-moi ce que tu ne comprends pas. Et pour le second point, je réitère ma question : vous avez étudié la théorie des groupes ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:42

Premièrement, nous n'avons pas étudié la théorie des groupes.
Ensuite, dans le 1), je comprend votre contre exemple mais je ne sais pas comment faire pour déduire k appartenant à Z par stabilité de C par passage à l'inverse.

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:48

Le problème, c'est que si vous n'avez pas fait la moindre théorie des groupes, cet exercice est juste infaisable.
Petit topo rapide sur ce que tu dois savoir pour finir l'exo : ton groupe C vérifie les 3 propriétés suivantes :
- 0\in C
- \forall x \in C, -x \in C (stabilité par passage à l'inverse)
- \forall x, y \in C\times C, x+y \in C (stabilité par somme)

Est-ce que tu arrives à en déduire la réponse à te question ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 16:59

Je suis vraiment perdu sur le 1). Pourriez vous me donner la trame à suivre ( une sorte de décomposition en de multiples étapes ) pour faire le 1) s'il vous plait ?

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:14

Ok. Ce problème me semble très difficile pour un niveau Terminale, donc j'accepte de te le décomposer en blocs élémentaires, en revenant à chaque fois aux définitions. À toi de te débrouiller pour résoudre chacun de ces blocs.
1) Montrons que  c \mathbb{Z} \subset C.
Soit x \in \mathbb{Z}. Montrons que x \in C. x est dans cZ, donc peut s'écrire x = k\times c, où k \in \mathbb{Z}.
Commençons par montrer le résultat dans le cas particulier k \in \mathbb{N} :
[je te laisse chercher, en te référant si besoin aux messages plus haut].
Ensuite, si k\in \mathbb{Z}^-, -k\in \mathbb{N}, donc -k\times c est dans C d'après ce qui précède. [Je te laisse conclure]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:15

Bonjour,
As-tu compris ce que signifie \; c \; ?

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:17

Petite coquille : il faut lire "Soit x \in c\mathbb{Z}", pas "Soit x \in \mathbb{Z}" à la ligne 4.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:27

Ma question s'adressait à Elios1597 :

Citation :
As-tu compris ce que signifie \; c \; ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:31

Oui, j'ai compris que cZ correspond à l'ensemble des multiples de c dans Z. Par contre, je ne parviens pas à faire, dans le 1), à montrer que cZ est inclus dans C dans le cas particulier k appartenant à N

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:33

Elios1597 @ 20-10-2019 à 17:31

Oui, j'ai compris que cZ correspond à l'ensemble des multiples de c dans Z.
pas du tout c'est l'ensemble des multiples entiers de c dans R !!!

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:35

Je suppute grandement que la réponse de carpediem est fausse car on travail à chaque fois dans Z

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:35

au passage je ne comprends pas comment tu peux essayer de faire un tel exercice alors qu'il semble quasi évident que tu ne possèdes pas les notions élémentaires de base (redondance de style) nécessaires ...

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:36

Citation :
Commence par montrer cette propriété par récurrence pour k \in \mathbb{N}


Tu auras besoin d'utiliser une des propriétés d'un groupe,  je te laisse voir laquelle.
Citation :
- 0\in C
- \forall x \in C, -x \in C (stabilité par passage à l'inverse)
- \forall x, y \in C\times C, x+y \in C (stabilité par somme)

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:36

oui pardon j'ai confondu avec un autre énoncé ...

tu peux nous donner explicitement quelques éléments de 3 \Z ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:46

Là, je suis totalement perdu. Je m'efforce de chercher mais je ne parviens à aucun résultat . Pourriez vous me donner la réponse au 1) s'il vous plaît afin de me débloquer la situation ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:48

Citation :
tu peux nous donner explicitement quelques éléments de 3 \Z ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:52

3Z = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:53

donc que vaut le minimum de C \cap \N^* ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:54

c=1

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:56

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 17:57

Que vaut alors le minimum de C inter N* ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:01

Peux-tu écrire les éléments de \; C * \; ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:02

Je ne vois pas comment l'écrire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:02

Ou pour être plus précise, de \; 3 * .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:04

Quels sont les éléments de \; 3 \; qui sont dans \; * \; ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:07

3Z inter N* = { 3, 6, ... }. Donc le plus petit élément est 3

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:11

ha ben enfin ...

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:13

Maintenant, je ne vois toujours pas comment faire le 1)

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:15

Maintenant, pour un peu mieux comprendre la structure de groupe.
Si je te dis que C contient 4 par exemple, peux-tu me donner d'autres éléments de C en utilisant les propriétés :
- 0\in C
- \forall x \in C, -x \in C (stabilité par passage à l'inverse)
- \forall x, y \in C\times C, x+y \in C (stabilité par somme)

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:17

C contient -4

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:18

Oui. Quoi d'autre ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:18

Je te laisse continuer Seon \;

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:19

C contient -4+4 = 0
Donc C contient 4; -4; 0

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:21

Toujours d'accord ! (0 y est même par définition)
Et si tu prends x=y dans la stabilité par somme ?

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:22

C contient 4+4 = 8
Donc C contient 4, -4, 8, 0

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:24

Oui. Essaie de continuer un peu pour voir, ça devient intéressant...

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 18:31

(N'hésite pas à partager quand tu as une dizaine d'éléments, ou avant si tu as compris la logique )

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:04

Seon @ 20-10-2019 à 18:15

Maintenant, pour un peu mieux comprendre la structure de groupe.
Si je te dis que C contient 4 par exemple, peux-tu me donner d'autres éléments de C en utilisant les propriétés :
- 0\in C
- \forall x \in C, -x \in C (stabilité par passage à l'inverse)
- \forall x, y \in C\times C, x + y \in C (stabilité par somme)

C peut tout à fait contenir ..., -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

et respecter les conditions données ...

Posté par
Seon
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:24

Certes... mais je ne vois pas où tu veux en venir ?
Mon objectif est pour l'instant simplement de lui faire constater que tous les 4k sont dans C, pas de décrire C de façon exhaustive.

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:29

* Soit cZ = { ck, k appartenant à Z }
* Soit c le plus petit élément de C inter N*
Comme c appartient à C inter N*, c appartient à C
* Soit x appartenant à cZ
Comme x appartient à cZ, il existe k appartenant à Z tel que x = ck

* Montrons que x = ck appartient à C pour tout k appartenant à N
--> Pk : "  x = ck appartient à C "pour tout k appartenant à N
--> Initialisation : x = c*0 = 0
Or 0 appartient à C car C est un sous groupe de Z
Donc P0 est vraie
--> Hérédité : Montrons que Pk+1 est vraie, cad que x = c (k+1)= ck + c appartient à C
Comme ck appartient à C ( par hypothèse ) et c appartient à C, ck + c appartient à C
Donc x = c ( k+1) appartient à C
D'où l'hérédité
--> Conclusion : Par raisonnement par récurrence, on a montré que x = ck appartient à C pour tout k appartenant à N

* Par stabilité de C par passage à l'inverse, on a :
--> Pour tout x appartenant à C, -x appartient à C
--> Donc, pour tout x appartenant à C, -x = -(ck) appartient à C  ( avec k appartenant à N)
--> Donc, pour tout x appartenant à C, -x = ck appartient à C  ( avec k appartenant à Z)
--> Donc, pour tout x appartenant à C, x = ck appartient à C  ( avec k appartenant à Z)

* Or, x = ck appartient à cZ et x = ck appartient à C
De plus, c appartient à C
Donc, cZ est inclus dans C

Posté par
Elios1597
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:30

Si vous voyez une erreur, n'hésitez pas à m'en faire part

Posté par
carpediem
re : Spé Maths : SOUS GROUPE DE Z 20-10-19 à 19:39

Citation :
--> Pk : "  x = ck appartient à C "pour tout k appartenant à N
la propriété est fausse ...

plutôt parler d'opposé (avec l'addition) que d'inverse (avec un produit)

on peut faire plus simple :

pour k positif tu as montré que ck appartient à C

or C est un groupe donc -x = -ck appartient à C

or -x = -ck = c(-k) (1)

ce qui permet de conclure pour k négatif

(il y a d'ailleurs une erreur : tu écris -x = -(ck) puis -x = ck  et c'est pour k dans N toujours !!! sauf en utilisant (1)

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