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Niveau Maths sup
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Structures constituées de matrices

Posté par
omarlab05
19-02-23 à 11:41

On pose D = {A= (aij)1<=i,j <=n Mn(K), 1<=i<=n , (de j=1 à n) aij=1}
1-montrer que D est stable par produit
2-déterminer les matrices de D qui sont inversible et leurs inverse appartiennent à D
Je suis bloqué dans la 2ème question.merci d avance

Posté par
carpediem
re : Structures constituées de matrices 19-02-23 à 12:17

bonjour

je ne sais pas si c'est utilisable ou manipulable pour conclure

A est inversible <=> son déterminant n'est pas nul <=> les n vecteurs colonnes de A sont linéairement indépendants

...

Posté par
Ulmiere
re : Structures constituées de matrices 19-02-23 à 16:27

Le fait que les lignes soient toutes de somme 1 peut être résumé à A \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\\vdots\\1\\1\end{pmatrix}.
Si A est de plus inversible, il suffit de composer par A^{-1} à gauche cette égalité pour en déduire que A^{-1}\in D .

Maintenant, à toi de trouver une CNS pour qu'une matrice A\in D soit effectivement inversible

Posté par
omarlab05
re : Structures constituées de matrices 19-02-23 à 21:37

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Structures constituées de matrices 20-02-23 à 12:51

Bonjour omarlab05

C'est comme t'a montré Ulmiere : une matrice inversible de D

a automatiquement son inverse dans D.

Pour avoir une idée des inversibles de D tu pourras par exemple examiner

ce qui se passe si une matrice A de D admet deux lignes proportionnelles

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Structures constituées de matrices 20-02-23 à 12:58

Puis aussi ce qui se passe si une ligne est combinaison linéaire des autres



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