Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Suite

Posté par
Mounkaila144 18-12-19 à 07:00

Bonjour tout le monde

Soit p\in IR_+ et a\in]-\pi;\pi[ soit la suite complexe  (Z_n)_{n\in IN} définie par Z_0=pe^{ia} ; Z_{n+1}=\frac{Z_n+|Z_n|}{2}
1) Exprimer Zn à l'aide d'un produit
2) Déterminer la limite de la suite (Z_n)_{n\in IN}

1) j'ai trouvé
Z_1=p.Cos(\dfrac{a}{2})e^{i\dfrac{a}{2}}
Z_2=p.Cos(\dfrac{a}{2}).Cos(\dfrac{a}{2^2})e^{i\dfrac{a}{2^2}}
Z_2=p.Cos(\dfrac{a}{2}).Cos(\dfrac{a}{2^2}).Cos(\dfrac{a}{2^3})e^{i\dfrac{a}{2^3}}
Après je ne sais plus comment avoir Zn en produit

Posté par
Mounkaila144re : Suite 18-12-19 à 07:20

Est-ce que ça serait ça ?après dans cette produit quand je calcule pour n=0 ou n=2 je ne trouve  les même résultat
\prod^{n}_{k=0}pCos(\dfrac{a}{2^k})e^{i\dfrac{a}{2^k}}

Posté par
etniopalre : Suite 18-12-19 à 07:38

Tu fais une récurrence .

Posté par
Mounkaila144re : Suite 18-12-19 à 08:04

J'ai pas vraiment compris ce que vous voulez me dire
Je dois faire une récurrence pour obtenir Zn en produit ?
Mais comment ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 18-12-19 à 11:18

Bonjour,
Il me semble qu'il y a quelques coquilles dans ta conjecture :

e^{i\dfrac{a}{2^k}} à sortir du , et avec n au lieu de k.
Et sous le : k=1.

etniopalpropose de démontrer cette conjecture par récurrence.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 18-12-19 à 11:19

Et le p aussi est à sortir du .

Posté par
Pirhore : Suite 18-12-19 à 11:48

Bonjour,

quelque chose m'échappe sans doute mais

\large \prod^{n}_{k=1} cos(\dfrac{a}{2^k})=\dfrac{sin(a)}{2^nsin(\dfrac{a}{2^n})}

Posté par
Mounkaila144re : Suite 19-12-19 à 09:01

Donc ça serait ça Alors
[p\prod^{n}_{k=1}Cos(\dfrac{a}{2^k})]e^{i\dfrac{a}{2^n}}
Et dans cette produit ya pas la valeur de Z

Citation :
0



Ses deux réponse sont égaux non ?
p\prod^{n}_{k=1}Cos(\dfrac{a}{2^k})e^{i\dfrac{a}{2^n}}=[p\prod^{n}_{k=1}Cos(\dfrac{a}{2^k})]e^{i\dfrac{a}{2^n}}

Posté par
Mounkaila144re : Suite 23-12-19 à 10:52

Personne ne peut me répondre ?

Posté par
Pirhore : Suite 23-12-19 à 11:05

ben oui mais on te dit que tu peux sortir des choses de ton prod pourquoi veux-tu absolument les conserver dans le prod

de plus voir mon post du 18/12 à 11H48

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 23-12-19 à 11:06

Il me semble avoir répondu le 18 à 11h18.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 23-12-19 à 11:07

Bonjour Pirho
Je te laisse avec Mounkaila144.

Posté par
Pirhore : Suite 23-12-19 à 11:12

Bonjour Sylvieg

je ne serai sans doute plus libre l'après-midi mais OK

Posté par
Mounkaila144re : Suite 24-12-19 à 12:06

Pirho @ 23-12-2019 à 11:05

ben oui mais on te dit que tu peux sortir des choses de ton prod pourquoi veux-tu absolument les conserver dans le pro

mais c'est exactement ce que j'avais fait ici non !

{\red{p}}[\prod^{n}_{k=1}Cos(\dfrac{a}{2^k})]{\red e^{i\dfrac{a}{2^n}}}
Je les ait fait sortir du prod
Oubien je dois l'écrire comme ça

{\red{p}}.{\red e^{i\dfrac{a}{2^n}}}[\prod^{n}_{k=1}Cos(\dfrac{a}{2^k})]

Posté par
Mounkaila144re : Suite 24-12-19 à 12:09

Pirho @ 18-12-2019 à 11:48

Bonjour,

\large \prod^{n}_{k=1} cos(\dfrac{a}{2^k})=\dfrac{sin(a)}{2^nsin(\dfrac{a}{2^n})}

Ah je comprends pas enfet comment vous avez trouvé ça

Posté par
Ulmierere : Suite 24-12-19 à 12:38

\prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{a}{2^k}\right) \sin\left(\frac{a}{2^n}\right) = \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{a}{2^k}\right) \cdot \frac12 \sin\left(2\frac{a}{2^n}\right) = \cdots = \frac1{2^{n-1}} \cos\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac1{2^n}\sin(a)

car \sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x)

Posté par
Pirhore : Suite 24-12-19 à 13:09

salut Ulmiere

merci d'avoir répondu; je n'avais pas vu son post

Posté par
Mounkaila144re : Suite 24-12-19 à 15:26

Ulmiere @ 24-12-2019 à 12:38

\prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{a}{2^k}\right) \sin\left(\frac{a}{2^n}\right) = \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{a}{2^k}\right) \cdot \frac12 \sin\left(2\frac{a}{2^n}\right) = \cdots = \frac1{2^{n-1}} \cos\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \frac1{2^n}\sin(a)

car \sin(2x) = 2\cos(x)\sin(x)

Ah d'accord ça c'est trop fort que moi je pense
Je suis qu'en 1er année prepa

Sinon je pourrais belle et bien laissée l'expression de Zn v avec le symbole prod
Z_n={\red{p}}.{\red e^{i\dfrac{a}{2^n}}}[\prod^{n}_{k=1}Cos(\dfrac{a}{2^k})]
C'est correct l'expression de Zn!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 24-12-19 à 15:38

Oui, car "Exprimer Zn à l'aide d'un produit" n'est pas très précis.
Mais comment traiter alors la seconde question, celle sur la limite ?

Posté par
Mounkaila144re : Suite 24-12-19 à 15:46

Ah oui je comprends maintenant
Sa serait hyper difficile de trouver la limite de cette suit à la symbole prod

Sinon dans l'expression de Zn que je vien de d'écrire on ne trouve pas la valeur de Z0 n'existe pas
Es normal ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 24-12-19 à 16:13

Cette expression n'est valable qu'à partir de n = 1.
A moins de considérer qu'un produit avec zéro facteur est égal à 1.

Plus précisément, admettre \prod^{0}_{k=1}Cos(\dfrac{a}{2^k}) = 1

Posté par
Mounkaila144re : Suite 25-12-19 à 10:16

Ok donc j'aurais Z_n=p.e^{i\frac{a}{2^n}}\frac{sin(a)}{2^n sin(\frac{a}{2^n})}
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} e^{i\frac{a}{2^n}} là comment je vais faire pour calculer la limite d'un nombre complexe ?

Posté par
Zrunre : Suite 25-12-19 à 10:36

Tu écris Z_n sous forme partie réelle + i*partie imaginaire et tu calcule la limite de la suite des parties réelles et la limite de la suite des partir imaginaire ....

Posté par
Mounkaila144re : Suite 25-12-19 à 13:19

Z_n=p.e^{i\frac{a}{2^n}}\frac{sin(a)}{2^n sin(\frac{a}{2^n})}=p.sin(a)\frac{e^{i\frac{a}{2^n}}}{2^n sin(\frac{a}{2^n})}=p.sin(a)\frac{[Cos(\frac{a}{2^n})+isin(\frac{a}{2^n})]}{2^n sin(\frac{a}{2^n})} \\
limite de la partie réel
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} p.sin(a)\frac{Cos(\frac{a}{2^n})}{2^n sin(\frac{a}{2^n})}=\lim\limits_{X \rightarrow 0} p.sin(a)\frac{X.Cos(X)}{a .sin(X)}=\lim\limits_{X \rightarrow 0} p.sin(a)\frac{X^2 .tan(X)}{a .X}=0 \\
limite de la parti imaginaire
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} p.sin(a)\frac{sin(\frac{a}{2^n})}{2^n sin(\frac{a}{2^n})}=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} p.sin(a)\frac{1}{2^n}=0
Je trouve zero partout
Alors la limite de la suite est 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 25-12-19 à 17:37

Bonsoir,
Pour la partie réelle, je ne trouve pas 0.

p.sin(a)\dfrac{X.Cos(X)}{a .sin(X)} \; n'est pas égal à \; p.sin(a)\dfrac{X^2 .tan(X)}{a .X} .

Posté par
Mounkaila144re : Suite 25-12-19 à 18:41

Ah je m'étais trompé
La limite de la partie réel est \dfrac{p.sin(a)}{a}
Alors que vas être la limite de Zn

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 25-12-19 à 19:00

Oui pour la partie réelle.
Pour Zn, je te laisse trouver.

Posté par
Mounkaila144re : Suite 25-12-19 à 19:11

La limite sera le point le point d'afixe (\frac{sin(a)}{a};0) !!

Posté par
Mounkaila144re : Suite 25-12-19 à 19:17

Oubien je peut dire que
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} Z_n=p\frac{sin(a)}{a}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 25-12-19 à 19:18

Non, la limite n'est pas un point mais un complexe.
Et où est passé le p ?

Posté par
Mounkaila144re : Suite 25-12-19 à 19:20

Mounkaila144 @ 25-12-2019 à 19:17

Oubien je peut dire que
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} Z_n=p\frac{sin(a)}{a}}

C'est ça alors

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 25-12-19 à 19:22

Oui, je ne l'avais pas vu.

Posté par
Mounkaila144re : Suite 25-12-19 à 20:05

Merci beaucoup à vous tous

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite 25-12-19 à 20:37

De rien, et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
Pirhore : Suite 26-12-19 à 07:09

de rien pour ma "zepto  intervention"


Rechercher
Menu
Espace membre
17 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1722 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !