Bonsoir !
Je voudrais de l'aide pour faire l'exercice suivant :
Soit une suite telle que pour tout n entier naturel, . Montrer que converge.
J'ai considéré les suites (Vn) et (Wn) suivantes : Vn=max(Un,Un+1)
Wn=min(Un,Un+1).
Ma stratégie consiste à montrer que (Vn) et (Wn) sont convergentes. J'ai réussi à le faire pour (Vn) mais je n'y arrive pas pour (Wn)
Bonsoir,
la suite définie par un=-n vérifie la propriété demandé et n'est pas convergente.
Je crois que tu nous as caché une partie des hypothèses.
Ton inégalité est stable par ajout d'une constante. Ca veut dire que vérifie la même inégalité, pour tout c. Si tu la supposes minorée, tu peux donc sans perte de généralité la supposer positive. Mais nous on va faire mieux, on va travailler avec v_n = , de sorte que et .
Pour tous N,n, . On somme entre et .
Ca donne
Donc .
Par récurrence immédiate, on obient et . Ca veut dire que , et donc et toutes ses translations, sont bornées (majorées par 1 par exemple, ou par n'importe quelle constante strictement positive si tu préfères). Tu peux donc appliquer Bolzano-Weierstrass à u, ou à n'importe quelle fonction continue de u. Je te laisse finir
Soit a , b des réels > 0 et S(a,b) l'ensemble des suites u : + telles que u(0) = a , u(1) = b et 2u(n+2) u(n + 1) + u(n) pour tout n .
S(a,b) contient la suite w qui vérifie w(0) = a , w(1) = b et 2w(n+2)= w(n + 1) + w(n) pour tout n . On peut calculer explicitement les w(n) et montrer que w converge (vers (a + 2b)/3 si je ne me suis pas trompé).
Soit maintenant u S(a,b) .Il est clair que u w .
Bolzano-Weierstrass permet d'affirmer que u , étant bornée , a au moins une valeur d'adhérence .
Si on démontre qu'il n'y en a qu'une on pourra dire qu'elle converge .
Effectivement, le signe moins inverse l'inégalité, cependant, on peut faire ceci :
Si tu refais la même chose avec N-1 à la place de N : tu trouves donc .
Soit v est strictement négative, donc majorée.
Soit v prend une valeur positive, disons en N, et alors elle est encore positive en N+2, ce qui fournit une sous-suite positive.
Mais aussi, , et donc est négative. Par récurrence, on a donc deux sous-suites, une positive et une négative. La négative est une suite bornée, donc on peut extraire une sous-suite convergente. Donc on a bien l'existence d'une sous-suite convergente de u (i.e d'une valeur d'adhérence).
Il reste à montrer que c'est la seule
salut
une autre idée peut-être ...
donc
or la suite (u_n) est minorée par un réel m donc pour tout entier n > 0 :
si'il existait un indice n tel que alors on en déduirait que que
ce qui est contradictoire avec le fait que la suite est minorée par m
ce qui permet de conclure que la suite (u_n) est bornée (appartient même à l'intervalle [m, m/2 + u_0 + 2u_1[)
on peut donc en extraire une sous-suite convergente ...
C'est joli. Tu utilises sans le dire une translation de u, par contre
Parce que n'est pas forcément a priori ?
Ou alors tu utilises peut-êter une autre égalité ?
En tout cas le même raisonnement fonctionne sans translation pour dire que n'est pas possible sinon
ha oui !!! merci Ulmiere
je me suis mélangé un peu les pinceaux avec les inégalités en voulant tout faire de tête !!
pour la translation : oui ... mais en ai-je besoin avec mon raisonnement ? sommer les inégalités comme je l'ai fait permet de s'en passer ... élégamment (en toute humilité !!)
de même (il me semble) faire une translation avec ton raisonnement n'est pas nécessaire mais fortement utile pour simplifier les calculs : sinon on se traine des constantes et à nouveau on tombe dans le pb de bien vérifier les signes et ordres des expressions manipulées ...
enfin ce me semble-t-il ...
Allez je balance, pour archive
et
donc
D'où la convergence de vers 0 donc de vers 0, donc de vers
Reste quand même à gérer le cas où v est à valeurs négatives, mais dans ce cas on refait comme pour et on en déduit
et
ha ouais !!
donc en fait l'existence d'une sous-suite convergente n'est d'aucune utilité !
en tout cas merci
@Ulmiere ( message du 23-02-21 à 12:44) :
de et de tu ne peux pas déduire .
Ensuite, dans ton message du 23-02-21 à 18:53 tu écris :
donc tu supposes et alors qu'on ne connais pas le signe de .
Enfin ne converge pas vers en général, par exemple
Je propose une solution "élémentaire" au problème posé (convergence de la suite ).
On introduit la suite qui est décroissante et minorée, donc convergente vers .
En posant et on a .
On démontre que en utilisant .
On a pour .
On montre par récurrence que
d'où pour
De manière analogue on peut démontrer que dans le cas où la suite n'est pas minorée elle tend vers .
bonjour,
Jandri , je ne comprends pas à quoi tu aboutis .
on démontre que tend vers =l si tu veux donc tend vers 0,ok
à partir de 3ème ligne on sait que tend vers 0 mais en quoi cela te donne une information sur ?
re,
je pensais plutôt suivre la même piste qu'etniopal.
Théorème de Bolzano Weierstrass: il existe au moins un point d'accumulation, Il s'agit de démontrer qu'il est unique.
J'ai trouvé une démonstration dont je suis à peu près sûr mais qui utilise le postulat qu'il existe un nombre fini p de points d'accumulation. mais je suis certain que ce postulat est faux en général. Peut-être est-il possible que l'on puisse le poser dans le cas de cette suite.
Ensuite j'ai dit que l'ensemble des points d'accumulations est dénombrable, ceci est vrai car l'ensemble des termes de la suite est par définition dénombrable.
mais avec cette hypothèse je bloque sur une difficulté
bonjour, ci-dessous un développement rapide sans couper les " en 4"
qui est ma proposition pour démontrer que converge en établissant qu'il ne peut pas y avoir plus d'un point d'accumulation.
Il y a sûrement à reprendre et à contester, je vous écoute si cela vous intéresse
je reprends en considérant qu'il existe une suite dénombrable de points d'accumulation pour la suite .
Il est possible que soit un point d'accumulation, sinon il existe un on les notera
et son suivant étant séparés, il existe tel que on peut choisir tel que
On notera désormais
Soit il existe tel que et
sinon serait le seul point d'accumulation ce qui termine la démonstration.
prenons l'hypothèse précédente alors il existe k tel que c'est à dire entre un et son suivant ou à l'intérieur d'un et
on a où
ainsi on a ce qui élimine les points situés après en tant que d'accumulation.
on réitère le raisonnement pour n'avoir plus qu'un point d'accumulation car au delà du dernier point d'accumulation , il n'y a qu'un nombre fini d'éléments de la suite, il suffit de travailler avec des assez grand
@ DOMOREA
la démonstration que j'ai proposée est élémentaire au sens où elle n'utilise que la définition d'une limite de suite (et pas d'autres notions de topologie comme les points d'accumulation).
Tu n'as peut-être pas lu attentivement ce que j'ai écrit. J'ai introduit qui est une suite décroissante et minorée, donc convergente vers un réel .
En posant et les deux suites et sont reliées par .
Comme on a .
La partie la plus difficile est d'en déduire que , ce qui entraine immédiatement que .
C'est pour montrer qu'on a besoin de la définition de la limite d'une suite (avec un ).
Remarque : la limite de n'est pas égale à en général, j'ai donné l'exemple de la suite .
Je propose une autre démonstration élémentaire utilisant la suite .
On montre d'abord que est décroissante et minorée, donc convergente vers un réel .
Pour tout il existe donc tel que pour tout on ait .
Soit . Il y a trois cas à distinguer.
Premier cas, : .
Deuxième cas, : .
Troisième cas, et : d'une part,
d'autre part, .
Dans tous les cas on a . Cela démontre que .
bonjour jandri,
c'est en effet ta définition de que je n'avais pas saisie.
en fait on a tourné autour de la même idée avec ton
alors que moi je travaillais avec et si j'avais travaillé comme toi mon aurait été défini par
Bonjour,
Bravo jandri pour tes démonstrations !
Très fort de trouver ces suites auxiliaires.
Et celle avec max ne coupe pas les en 4
Bonsoir Sylvieg,
merci pour tes compliments mais j'avais déjà cherché cet exercice et j'ai pris des idées chez d'autres.
L'exercice peut se généraliser ainsi : soit et une suite vérifiant pour tout
. Montrer que la suite converge ou bien diverge vers .
La première démonstration que j'ai proposée s'applique sans problème mais la seconde (avec le max) ne s'applique que pour .
Si on renverse l'inégalité dans la définition de on obtient que converge ou bien diverge vers .
Le silence de cfg977 est assourdissant.
Pourtant, il avait introduit une des suites qui permet d'aboutir dès son 1er message :
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