u(n)=sin(n) n'est pas convergente simplement donc a fortiori pas uniformément. Pour le voir il suffit d'etudier la fonction f(x)=sin(x) qui n'a pas de limite en l'infini.
En revanche on peut en extraire une sous-suite convergente. Pour cela il suffit de poser la suite    v(x)=sin(1/x) avec x=1/n
donc lim(1/n)=0 en l'infini, et donc lim(v(x))=0
On a ainsi montré que la sous-suite v(x) converge simplement.