Bonjour !
Curieux ton énoncé : si est constante il en est de même pour . Du coup la question sur la convergence uniforme semble sans intérêt.

Une piste, en supposant seulement !
Si l'inégalité des accroissements finis donne .
Comme vérifie tu auras par récurrence .

Plus court : pour donné, la suite est monotone. Comme sont continues, le théorème de Dini est utilisable...

merci bien luzak pour l'explication. mais je n'arrives pas bien à cerner : je pensais jusqu'à présent que le théorème de Dini était appliqué uniquement dans des ensembles compacts seulement, ici, IR₊ n'est pas compact.comment est-ce possible de l'utiliser s'il te plaît?
je vais peut être opter pour la méthode plus longue du dessus. Merci encore
Et aussi , n'y a t'il pas de méthode(une ou plusieurs) fixe que je peux utiliser pour les suites de fonctions définies par récurrence? parce que je me rends compte que pour les suites définies par une formule de récurrence, les méthodes ne sont pas figées mais plutôt dépendantes de l'esprit de celui qui travaille dans les différents ouvrages que j'ai lu.

Tu as raison, Dini était une suggestion puisqu'on te demande de proposer des sous ensembles où la convergence est uniforme.
C'est inutile si tu peux établir la convergence uniforme sur .

Ta limite simple est une fonction constante minorée. Lorsque ce minorant est strictement supérieur à , la majoration que je propose tje pense qu'elle est correcte, à vérifier) permet de conclure.

oui elle est correcte et facile à vérifier. grand merci à toi