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Niveau Maths sup
Suite de points dans le plan complexe
Posté par Anima (invité)
Bonsoir a tous !
Je planche sur un exercice qui a pourtant l'air sympathique , pour la simple et bonne raison que je ne sais pas par où commencer ...
Dans le plan complexe , on définit la suite de points (z(n)) de la facon suivante :
z(0)=1 et le triangle O,z(n),z(n+1) est direct rectangle en z(n) avec (notation module)
|z(n+1)-z(n)|=1
Calculer |z(n)|
Donner un argument de z(n)
PS : je commencer a explorer une piste possible avec pythagore , mais ca me parait un peu inespéré ...
Merci pour votre aide !
Posté par Anima (invité)re : Suite de points dans le plan complexe
Mon idée de départ en posant z(n)=a+ib z(n+1)=a'+ib' n'aboutit pas à grand chose ...
J'aurais juste besoin d'un petit indice ! Merci
Posté par Anima (invité)re : Suite de points dans le plan complexe
Ah je viens de me rendre compte que ma figure etait fausse , ca m'a induit en erreur
Oui donc avec pythagore on a |z(n+1)|=
(|z(n)|²+1) , mais je ne vois pas comment vous arrivez au resultat ! Je tache de trouver ...
Posté par Anima (invité)re : Suite de points dans le plan complexe
Ahhh je crois avoir trouvé ! on réitère jusqu'à n=o et on arrive au resultat , probablement ...
Je me suis avoué battu un peu vite , y'avait rien de bien méchant ... merci !
Posté par Anima (invité)re : Suite de points dans le plan complexe
Je crois avoir un debut d'idée , c'est pas evident a formuler
Par exemple , l'argument de z(2) c'est l'argument de z(2) en supposant que z(1) appartienne a la droite des réels + l'argument de z(1) ?
Juste une idée avant que j'aille manger , dites moi si ca peut mener quelque part ^^
Je crois que non.les arguments ne s'additionnent pas.Il me semble que ce sont des Arctangente qui s'additionnent.
arg(z0) = 0
arg(z1) = - 
/4 = - Arctan 1
arg(z2) = Arg(z1)- Arctan 1/2 (la tangente de l'angle "en plus" = opposé / adjacent) = - (arctan 1 + arctan 1/2)
etc...
arg (zn) = - (arctan 1 + ......+ arctan (1/n)
On doit pouvoir simplifier, mais j'ai la flemme...
Posté par Anima (invité)re : Suite de points dans le plan complexe
Oui c'est vrai que les arguments ne s'additionnent pas , mais je supposait que z1 appartenait a la droite des reels ... Enfin c'est un peu l'idée de "l'angle en plus" que vous avez donné !
Merci beaucoup, j'ai déjà assez d'éléments comme ca ^^