Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Suite définie de façon implicite

Posté par Profil Ramanujan 14-09-18 à 13:39

Bonjour,

Soit n \in \N^*, x \in \R et P_n (x) = \sum_{k=1}^n x^k -1

1/ Démontrer que \forall n \in \N^* : P_n(x)=0 admet une unique solution a_n sur ]0,+\infty[

Je vois pas comment faire.

Posté par
jsvdbre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 13:42

Bonjour Ramanujan.
P_n est une fonction continue et strictement croissante sur ]0;+\infty[ et P_n(0) = -1. Donc par le TVI ...

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 13:56

Il faut que je montre que P_n est strictement croissante ? Etude de fonction ?

Posté par
jsvdbre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:01

Si tu dérives, ça ce devrait pas être bien long ...

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:44

Je trouve :

\forall x \in ]0,+\infty[
P_n '(x) =  \sum_{k=1}^{n-1} k x^{k-1} >0

Donc la fonction P_n est strictement croissante sur ]0,+\infty[

Or : P_n (0) = -1 et \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} P_n (x) = + \infty

On a  : 0 \in [-1 , +\infty[

Ainsi l'équation P_n (x)=0 admet une unique solution sur  ]0,+\infty[ d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

2/ Démontrer que la suite (a_n)_{n \geq 1} est strictement croissante et majorée par \dfrac{1}{2}

Aucune idée ici n'ayant pas l'expression de la suite

Posté par
etniopalre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:53

Si  x   ]0 , +[  on a  Pn(x) < Pn+1(x) .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 14:58

Bonjour,
As tu essayé de calculer a1 et a2 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:15

P_1 (x) = x- 1
Or :  P_1 (a_1)=0 donc a_1 = 1

P_2 (x) = x^2 + x  -1
L'unique solution positive est : a_2 = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}

Mais ça m'avance à quoi ?

Posté par
veledare : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:22

bonjour,
tu peux calculer
Pn+1{n)=

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:33

veleda @ 14-09-2018 à 15:22

bonjour,
tu peux calculer
Pn+1{n)=


P_{n+1} (a_{n+1}) vous voulez dire ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:43

Ni a1 ni a2 ne sont inférieurs à 1/2 .
De plus a2 < a1 .
Bizarre pour une suite strictement croissante et majorée par 1/2

Posté par
veledare : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:45

1=1   donc la suite ne peut pas   être majorée par 1/2

je n'arrive plus très bien à lire à l'écran  je n'ai peut ^tre  pas bien  lu

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:45

veleda veut dire Pn+1(an) . Pas d'erreur sur les indices.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:47

Si veleda tu as bien lu
Il y a une petite contradiction dans l'énoncé...

Posté par
veledare : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:48

non,  tu calcules  Pn+1(n)

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:52

J'ai fait une erreur dans mon énoncé désolé

Montrer que la suite (a_n)_{n \geq 1 } est strictement décroissante et minorée par \dfrac{1}{2}

Je ne comprends pas le sens de calculer : P_n (a_{n+1})

Posté par
veledare : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:57

bonjour Sylvieg
oui,la suite  n'est pas croissante  ni majorée  par 1/2

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 15:59

veleda @ 14-09-2018 à 15:57

bonjour Sylvieg
oui,la suite  n'est pas croissante  ni majorée  par 1/2


J'ai corrigé

Posté par
veledare : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:12

tu peux exprimer

Pn+1(x)-Pn(x)=..

tu  sais que  Pn(n)=0

tu peux en déduire  Pn+1(n)

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:14

P_{n+1} (a_n) = \sum_{k=1}^{n+1} a_n^k - 1 = \sum_{k=1}^{n} a_n^k -1 + a_n ^{n+1}

Donc : P_{n+1} (a_n ) = P_{n} (a_n ) +  a_n ^{n+1}

Là je sais pas quoi en faire en plus j'ai même pas de a_{n+1} qui apparaît

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:14

Je trouve :

Donc : P_{n+1} (a_n ) =   a_n ^{n+1}

Posté par
DOMOREASuite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:35

bonjour,
Calcule P_n(x)-P_{n-1}(x)
Que peux-tu en déduire quant à P_{n}(a_{n-1})  et donc...

Pour la suite, calcule P_n(\frac{1}{2})

Posté par
etniopalre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:36

Puisque
    0 = Pn(an) < Pn+1(an+1) et
Pn+1(0) = -1
Pn+1 s'annule dans ]0 , an[
Comme Pn+1 ne s'annule  qu'en an+1  on a :  an+1   ]0 , an[

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:50

P_n (x) - P_{n-1} (x) = x^n

Donc : P_n (a_{n-1} )- P_{n-1}(a_{n-1}) = a_{n-1} ^n >0

Donc : P_n (a_{n-1} ) >  P_{n-1}(a_{n-1})

Mais je comprends pas l'intérêt de faire ça je n'ai pas de relation entre a_n et a_{n-1}

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:53

etniopal @ 14-09-2018 à 16:36

Puisque
    0 = Pn(an) < Pn+1(an+1) et
Pn+1(0) = -1
Pn+1 s'annule dans ]0 , an[
Comme Pn+1 ne s'annule  qu'en an+1  on a :  an+1   ]0 , an[


Je comprends rien

Posté par
DOMOREASuite définie de façon implicite 14-09-18 à 16:56

ben P_{n-1}(a_{n-1})=0 donc P_n(a_{n-1})>0 et comme P_n est croissante tu as la relation immédiate entre a_net a_{n-1}

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:07

Je suis d'accord que : P_n (a_{n-1}) > 0

Ah je pense avoir enfin compris ! On remplace le 0 par P_n (a_n)

Ca donne : P_n (a_{n-1}) > P_n (a_n)

Par stricte croissance de P_n sur \R^{+*} : a_{n-1} > a_n

Donc la suite (a_n) est décroissante.

Je réfléchis à la suite.

Posté par
veledare : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:17

bien,tu as fini par comprendre

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:23

Calculons : P_n (\dfrac{1}{2})

P_n (\dfrac{1}{2}) = \sum_{k=1}^n (\dfrac{1}{2})^k -1

Or : \sum_{k=1}^n (\dfrac{1}{2})^k =(\dfrac{1}{2})^1 \dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n}}{1-\dfrac{1}{2}} = 1 - (\dfrac{1}{2})^{n}

Donc : P_n (\dfrac{1}{2}) =  - (\dfrac{1}{2})^{n} <0 = P_n (a_n)

Par croissance de la fonction P_n sur \R^{+*} :

a_n > \dfrac{1}{2}

D'où le résultat

Posté par
veledare : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 17:45

oui

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 18:12

3) Calculer la limite de la suite (a_n)_{n \geq 1}

Notons l la limite de la suite (a_n).
(a_n -l) est une suite décroissante et convergeant vers 0 elle est nécessairement positive donc :

\forall n \in \N^* : l \leq a_n \leq a_1

Par ailleurs : a_n > \dfrac{1}{2}
Par passage à la limite, les inégalités strictes deviennent larges donc :
l \geq  \dfrac{1}{2}

On obtient l'encadrement suivant :

\forall n \in \N^* : \dfrac{1}{2} \leq l \leq a_n \leq a_1

Après je vois pas trop ...

Posté par
lafol Moderateurre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 18:14

Bonjour
et si tu utilisais la définition des a_n ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 18:37

Et si tu prenais l'habitude de donner l'énoncé entier au départ ?
Il arrive que des questions donnent des indices pour le début.
Et puis, connaître l'esprit de l'exercice ne fait jamais de mal.

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 19:35

lafol @ 14-09-2018 à 18:14

Bonjour
et si tu utilisais la définition des a_n ?


Elle est donnée à mon premier post

Posté par Profil Ramanujanre : Suite définie de façon implicite 14-09-18 à 19:46

Par croissance de la fonction P_n j'obtient :

- (\dfrac{1}{2} )^n \leq P_n(l) \leq P_n(a_n)=0

D'après le théorème des gendarmes : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} P_n (l)=0

On cherche l :

Mais l \ne 1 car l <1

Donc : P_n (l) = l \times \dfrac { 1 - l^n}{1-l} -1

Or l \in ]-1 ,1[

donc : \\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  l^n = 0

Alors : \dfrac{l}{1-l} = 1

Finalement : l = \dfrac{1}{2}


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !