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Suite et équivalent

Posté par
Trost 09-07-19 à 13:29

Bonjour, voici mon exercice :

Soit (u_{n})_{n\epsilon N} la suite définie par u(0) = 1 et, pour tout entier nature n, u(n+1) = u(n) + (1 / u(n))

Des questions permettent de montrer que 2n+1 \leq u^{2}_{n} \leq 2n+u_{n}

Et il faut en déduire que u(n) est équivalent à sqrt(2n).
J'ai essayé de prendre la racine carrée dans l'expression ci-dessus, et de diviser par sqrt(2n), mais je n'arrive par à encadrer ce que je veux car le membre de droite contient u(n) (et donc il ne m'apparaît pas clairement qu'il tende vers 1).

Merci d'avance.

Posté par
lionel52re : Suite et équivalent 09-07-19 à 14:03

Tu peux diviser l'inégalité par u_n^2 !

Posté par
Trostre : Suite et équivalent 09-07-19 à 15:56

\frac{2n+1}{u_{n}^{2}} \leq 1 \leq \frac{2n+u_{n}}{u_{n}^{2}}

Mais est-ce qu'on peut conclure directement que u(n)² est équivalent à 2n (en utilisant la majoration par 1), donc u(n) équivalent à sqrt(2n) ?

Posté par
lionel52re : Suite et équivalent 09-07-19 à 16:14

Comme 1/Un tend vers 0 tu obtiens dans le membre de droite que pour e > 0 donné, pour n assez grand

2n/un² >= 1 + e


Dans l'autre sens c'est évident

Posté par
Trostre : Suite et équivalent 09-07-19 à 18:00

Désolé, mais j'ai du mal à comprendre la démonstration (le lien entre le fait que 1/Un tende vers 0 et l'utilisation de la définition de la limite)

Posté par
lionel52re : Suite et équivalent 09-07-19 à 18:09

Tu as

1 \leq \frac{2n+u_{n}}{u_{n}^{2}}

Et pas

1 \leq \frac{2n}{u_{n}^{2}}   qui te permettrait de conclure direct

Par contre pour \epsilon > 0 arbitrairement petit tu as bien que pour n assez grand

1 - \epsilon \leq \frac{2n}{u_{n}^{2}}


Ce qui te permet de dire que pour \epsilon > 0 , on a pour n assez grand

1 - \epsilon \leq \frac{2n}{u_{n}^{2}} \leq 1

et donc que \frac{2n}{u_{n}^{2}} \to 1

Posté par
Trostre : Suite et équivalent 09-07-19 à 22:17

Merci beaucoup, j'ai compris.  Peut-on aussi écrire, sans passer par la limite au début, 1-\frac{1}{u_{n}}\leq \frac{2n}{u_{n}^{2}} \leq 1, et ensuite passer à la limite pour utiliser le théorème d'encadrement ?

Posté par
Jezebethre : Suite et équivalent 10-07-19 à 02:57

Bonjour

Trost @ 09-07-2019 à 22:17

Merci beaucoup, j'ai compris.  Peut-on aussi écrire, sans passer par la limite au début, 1-\frac{1}{u_{n}}\leq \frac{2n}{u_{n}^{2}} \leq 1, et ensuite passer à la limite pour utiliser le théorème d'encadrement ?


Oui.
Mais il faudrait un jour montrer que 1/Un tend vers 0

Posté par
Trostre : Suite et équivalent 10-07-19 à 09:43

Merci, en fait je ne l'ai pas précisé mais on a montré cela dans une question précédente.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite et équivalent 12-07-19 à 03:59

Bonjour , je m'incruste


La suite \Large (u_n) étant définie par \Large \boxed{\begin{array}{cc}u_0=1\\u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}\end{array}} , il est facile de voir que \Large u_n\geqslant1


d'où pour tout entier naturel \Large n , \Large \boxed{2\leqslant u_{n+1}^2-u_n^2=2+\frac{1}{u_n^2}\leqslant2+\frac{1}{u_n}=2+u_{n+1}-u_n}

ce qui donne (par sommation) pour tout entier naturel \Large n , \Large \boxed{2n+1\leqslant u_n^2\leqslant2n+u_n}

d'où pour tout entier naturel \Large n , \Large \boxed{\sqrt{2n+1}\leqslant u_n\leqslant\sqrt{2n+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}} sauf erreur bien entendu


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