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Suite et fonction

Posté par Sarah (invité) 09-05-04 à 09:48

Bonjour!

Soit I l'intervalle [0:1], on considère la fonction f définie sur
I par f(x)=(3x+2)/(x+4) .Etudier les variations de f et [b]
en déduire que pour x élement de I f(x)appartient à I.[/b] ? là je
bloque!

Ensuite on nous donne Un définie par Un+1=(3Un+2)/(Un+4) avec Uo=0 .....[b]Montrer
que pour tout n ,Un appartient à I.[/b]  Comment faire? une aide
please.........

Posté par
siOk
re : Suite et fonction 09-05-04 à 10:15


Première méthode
Tu écris l'expression avec une seule fois la lettre x

3x+2 = 3(x+4) + 2 - 12 = 3(x+4) - 10   donc

(3x+2)/(x+4) = 3 - 10/(x+4)

Donc en utilisant les fonctions élémentaires de seconde:
0           <=    x                   <=   1
4           <=    x+4              <= 5
1/4        >=   1/(x+4)      >= 1/5
-10/4    <=   -10/(x+4)   <= -10/5
3-10/4  <=  f(x)               <= 3 - 2
0,25 <= f(x) <= 1


Seconde méthode
Tu étudie les variations de la fonction sur [0 ; 1]



Posté par Sarah (invité)re : Suite et fonction 09-05-04 à 10:20

La fonction est croissante sur [0;1] cela signifie que f est définie
sur I ?  et pour la suite je fais comment?

Posté par
siOk
re : Suite et fonction 09-05-04 à 10:30


Tu appliques la définition d'une fonction croissante

comme 0 <= x <= 1  et que la fonction est croissante, les images sont dans
le même ordre
f(0) <= f(x)  <= 1
1/2 <= f(x) <= 1



D'ailleurs cela me permet de corriger une erreur dans le post précédent:
dans la dernière ligne du calcul,
il faut remplacer 0,25 <= f(x) <= 1
par  0,5 <= f(x) <= 1

Posté par Sarah (invité)re : Suite et fonction 09-05-04 à 10:44

Merci sIOK ! Mais j'ai encore une autre question ...si tu veux
bien m'aider ce serait gentil..

Alors voilà On a Vn=(Un-1)/(Un+2) (j'ai montré que Vn est une suite
géométrique de raison q=2/5)

On a Un+1= (3Un+2)/(Un+4) avec Uo=0


[b]Exprimer Un en fonction de Vn puis de n.[/b]

une aide please!! (si tu peux me donner une méthode ce serait bien!)

Posté par
Océane Webmaster
re : Suite et fonction 09-05-04 à 12:32

Juste quelques liens en rapport avec l'exercice (déjà posté
dans des topics différents)

ici
ou encore



Posté par Orelle (invité)Orelle 09-05-04 à 17:38

C'est super sympa de m'avoir aidé, j'ai pu finir mon
exo, je sais que j'ai déjà fais ça en cours mais même avec ce
dernier sous les yeux j'avais du mal a m'en sortir(tes
rappels mon bcp aidée!) MERCI

On m'a donné récemment un DM a faire, j'en ai fais en bonne
partie cpt, il me reste quelques questions!!!
C'est assez long ! mais si tu as le temps et que ça ne te dérange pas trop,
j'aurais aimé quelques explications (là aussi assez précise!!

si possible?!
(J'ai déjà posé certaines questions de ce DM sur ce forum mais on m'a
renvoyé vers d'autres personnes qui avaient elles aussi le même
sujet mais des questions quelques peu différentes et surtout, il
s'agissait de DM de Terminale !je n'ai donc pas compris
les toutes  explications et les cours vers lesquels on nous renvoyait
ne faisaient pas partie des miens).

Voilà l'énoncé:

_Soit f la fonction définie sur I=[0;1]
par f(x)=(3x+2)/(x+4)

1) a/J'ai d'abords étudié les variations de f sur I et trouvé
que f était croissante
b/J'ai ensuite démontrer que pour tout x appartient à I, f(x)
appartient à I et représenté graphiquement f

_Soit (Un) la suite définie sur N par{Uo=0
                                                           {U(n+1)=(3Un+2)/(Un+4)

1)Démontrer que pour tout n appartient à N, Un appartient à I
2)On me demande de placer Uo;......U(7) sur l'axe des abscisses(
en laissant les traits de constructions) mais je n'y arrive
pas! je pense que je devrais trouver une sorte de spirale carré mais
ce que j'ai fais ne représente rien!Serait-il possible de m'expliquer
(et de manière détaillée) comment faire pour placer ces points?
Il faut ensuite, dans la même question, dire ce que sugère le graphique
concernant le sens de variation de (Un) et sa limite
3)Démontrer que U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4) et en déduire le sens de variation
de (Un)

_Soit (Vn) la suite définie par  Vn=(Un-1)/(Un+2)    

1)Calculer Vo;V(1);V(2);V(3);V(4). Que pensez vous de cette suite?
2)Calculer (Vn+1)/(Vn) . Que pouvez-vous en conclure?
3)Exprimer Vn en fonction de n
4)Exprimer Un en fonction de n

Voilà! je crois qu'il y a de quoi s'occuper !!
Encore merci !

A bientôt j'espère
  Orelle

** message déplacé **

Posté par Sarah (invité)Pour Océane! 09-05-04 à 18:47

Bonjour !

Je voulais juste dire que je n'ai pas trouver la réponse à ma question
dans les topics que tu m'a indiqué.Une petite indication me
ferait plaisir!  j'ai le bac dans qq semaines.

Posté par
siOk
re : Suite et fonction 09-05-04 à 19:06


Vn en fontion n
Tu le fais c'est une formule du cours
Vn = (2/5)^n * V0


Vn en fontion de Un
Tu reportes dans la définition de Vn
0,4^n * V0  = (3 Un + 2) / (Un + 4)
et tu résouds cette équation d'inconnue n

Posté par
siOk
re : Suite et fonction 09-05-04 à 19:08


Correctif post précédent
Remplacer "équation d'inconnue n" par "équation d'inconnue Un"

Posté par Sarah (invité)re : Suite et fonction 09-05-04 à 19:28

Désolé de te decevoir siOk mais il faut exprimer Un en fonction
de Vn puis de n
Bon si tu en a assez ...tant pis j'essaierai
de trouver la solution toute seule!

Et Merci à vous tous!

Posté par
siOk
re : Suite et fonction 09-05-04 à 19:38


Vn  = (3 Un + 2) / (Un + 4)  
avec un produit en croix
Vn * Un + 4 * Vn = 3 Un + 2
(Vn-3) * Un = 2 - 4 * Vn

Un = (2 - 4*Vn) / (Vn-3)

A condition que Vn soit différent de 3

Posté par sarah (invité)re : Suite et fonction 09-05-04 à 22:54

Bonsoir!

Je suis toujours pas d'accord avec toi siOk ....lol ! Bon ça doit
etre la fatigue!

C'est Un+1=(3Un +2)/(Un+4) et non Vn !

Posté par
siOk
re : Suite et fonction 10-05-04 à 07:17


Tu as raison je me suis embrouillé les pinceaux avec les U et les V.

Posté par Orelle (invité)Guill64 10-05-04 à 11:52

Bonjour,

Je ne sais pas si tu as lu mon dernier message car il a été transferé
vers un autre topic
Si tu veux le lire ! il te suffit d'aller dans "Recherche dans
le forum" et de taper Orelle(ça doit être le premier de la liste,
celui où il n'y a pas d'indication au niveau des classes)
En tout cas merci encore pour ton aide et tes explications!


Voilà, @ +
  Orelle      

** message déplacé **

Posté par Orelle (invité)Pour Guill64 ou tt autre pers qui s ennuie! pb de Suites 10-05-04 à 12:12

Salut!

C'est la deuxième fois que j'essaye de t'envoyer se
message!
j'ai encore du mal à me servir de ce forum!!  
Enfin voilà, tout ça pour te dire que j'ai envoyé un dernier message
hier, mais celui-ci a été transféré vers un autre topic!
Je ne pense pas que tu l'ais lu c'est pourquoi je t'envoi
ce message en espérant que cette fois sera la bonne!!
Je voulais te remercier pour ton aide et tes explications qui m'on
beaucoup aidée et.......j'aurais encore une petite question
a te poser !? Il s'agit là encore de suites et je n'y arrive
pas non plus alors si tu pouvais m'aider??!
Donc voilà...
Pour trouver ce message que je ne retape pas car trop long! il te suffit
d'aller dans "Recherche dans le forum" et de taper "Orelle"
(ça doit être le premier de la liste, celui sans indicatif de classe!)
En tout cas merci beaucoup
Voilà je crois que c'est tout?
@ +
  Orelle

** message déplacé **

Posté par guille64 (invité)re : Pour Guill64 ou tt autre pers qui s ennuie! pb de Suites 10-05-04 à 14:22

mdrrr...
je te remercie pour ce petit mot... ca me fait très plaisir
je vais voir si je te trouve et si je peux t'aider...
à tout

Guille64

Posté par guille64 (invité)Suites, convergences, tracés (Orelle) 10-05-04 à 15:02

Pour plus de clarté je me permets de reposté ce post d'Orelle...

Toutefois le problème a déjà été résolu en grande partie ici par watik :
Limites de suite

Voilà l'énoncé:

_Soit f la fonction définie sur I=[0;1]
par f(x)=(3x+2)/(x+4)

1) a/J'ai d'abords étudié les variations de f sur I et trouvé

que f était croissante
b/J'ai ensuite démontrer que pour tout x appartient à I, f(x)

appartient à I et représenté graphiquement f

_Soit (Un) la suite définie sur N par{Uo=0
                                                           {U(n+1)=(3Un+2)/(Un+4)


1)Démontrer que pour tout n appartient à N, Un appartient à I
2)On me demande de placer Uo;......U(7) sur l'axe des abscisses(

en laissant les traits de constructions) mais je n'y arrive

pas! je pense que je devrais trouver une sorte de spirale carré mais

ce que j'ai fais ne représente rien!Serait-il possible de m'expliquer

(et de manière détaillée) comment faire pour placer ces points?
Il faut ensuite, dans la même question, dire ce que sugère le graphique

concernant le sens de variation de (Un) et sa limite
3)Démontrer que U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4) et en déduire le sens de variation

de (Un)

_Soit (Vn) la suite définie par  Vn=(Un-1)/(Un+2)      

1)Calculer Vo;V(1);V(2);V(3);V(4). Que pensez vous de cette suite?
2)Calculer (Vn+1)/(Vn) . Que pouvez-vous en conclure?
3)Exprimer Vn en fonction de n
4)Exprimer Un en fonction de n

Voilà! je crois qu'il y a de quoi s'occuper !!
Encore merci !

A bientôt j'espère
  Orelle


** message déplacé **

Posté par guille64 (invité)re : Suites, convergences, tracés (Orelle) 10-05-04 à 16:36

bon je viens de tout perdre! donc je m'en vais faire une version
épurée de ce que j'avais écrit grrr et puis faut j'y aille
bientôt!!!!

1)Démontrer que pour tout n appartient à N, Un appartient à I
cf. watik : démontrer par récurrence = 3 étapes

Montrer la propriété Un I =[0;1]

Etape 1 : Vérifier pour Uo
Uo=0 I =[0;1]

Donc la propriété est vérifiée pour le premier terme Uo
Etape 2 : Posons que le terme Un I =[0;1]

Vérifier que Un+1 I =[0;1]

Indice : on a par hypothèse
0<Un<1
d'où
0<3Un<3 etc... contruire ainsi jusqu'à trouver un encadrement de Un+1

Etape 3 : conclusion, on a montré
- Uo I =[0;1]
- si Un I =[0;1] alors Un+1
I =[0;1]

Donc la propriété Un I =[0;1] pour tout n est vérifiée

2)On me demande de placer Uo;......U(7) sur l'axe des abscisses(
Cf; ce site très bien fait :

En deux mots sur un repère orthonomé tel que OI=OJ=4cm:
- trace la courbe C : f(x)=(3x+2)/(x+4)
- trace la droite D : y = x
- Uo =0 est situé sur le point o(0,0)
- le projetté de Uo sur C te donne U1
- Projettes U1 sur D en un point qu'on appelle x1
- Le projetté de x1 sur C te donne U2
- etc...

ATTENTION : la représentation de Un n'est pas ici une spirale carrée!
Le suite semble tendre vers 1

3)Démontrer que U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4)...
Un+1 - Un = (3Un+2)/(Un+4) - Un
Je te laisse faire :
indice : Un = (Un(Un +4))/(Un+4)
puis développer le numérateur de la fraction ainsi obtenue : ca donne
une équation du second degrés que je te laisse résoudre

... et en déduire le sens de variation
U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4)

Sachant que 0<Un<1 quel est le signe de
(1-Un) : positif ou négatif?
(Un+2) : positif ou négatif?
(Un+4) : positif ou négatif?

en déduire signe de U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4) et donc sens de
varaition de Un

Suite en suivant...






** message déplacé **

Posté par
Océane Webmaster
re : Suite et fonction 10-05-04 à 16:56

Orelle, à la place créer de nouveaux topics nous expliquant comment
retrouver ton message ou de poster à la fin de topic qui n'ont
rien à voir, je pense qu'il serait plus simple pour tout le
monde que tu postes dans ton topic (celui-ci remonte automatiquement
parmi les premiers) et en plus ça m'éviterait de déplacer tous
tes messges. Merci !

A LIRE AVANT DE POSTER

Posté par guille64 (invité)re : Suites, convergences, tracés (Orelle) 10-05-04 à 16:59

suite...

Soit (Vn) la suite définie par  Vn=(Un-1)/(Un+2)  

1) je te laisse calculer
2) Vn+1/Vn

Vn+1 /Vn = (Un+1-1)/(Un+1+2) * (Un+2)/(Un-1)
                 =  ((3Un+2)/(Un+4) -1)/((3Un+2)/(Un+4) + 2)  *(Un+2)/(Un-1)
On a d'une part :                
((3Un+2)/(Un+4) -1) = ((3Un+2)-(Un+4))/(Un+4)
                                       =2(Un-1)/(Un+4)

et d'autre part :
1/[((3Un+2)/(Un+4) + 2)]= 1/[((3Un+2)+2(Un+4))/(Un+4)]
                                               = 1/[5(Un+2)/(Un+4)]
                                               =(Un+4) / 5(Un+2)

d'où
Vn+1 /Vn = 2(Un-1)/(Un+4)  *  (Un+4) / 5(Un+2)  * (Un+2)/(Un-1)  
...
Vn+1 /Vn  = 2/5

d'où
Vn est géométrique de raison r=2/5 et de premier terme Vo=-1/2

3)Exprimer Vn en fonction de n
pour tout ce qui suit il faut te rapporter à Cours sur les suites numériques de première

Vn géométrique de raison r=2/5 et de premier terme Vo=-1/2
d'où
Vn = Vo* rn
Vn = (-1/2) *  (2/5)n  

4)Exprimer Un en fonction de n
On sait que
Vn = (Un-1)/(Un+2)

Il te faut exprimer Un en fonction de Vn,
Je te laisse continuer
indice :
On a
Vn = (Un-1)/(Un+2)      
d'où
Vn(Un+2) = (Un-1)
...

Voilà
Bonne continuation

Guille64        
    




** message déplacé **

Posté par Orelle (invité)Suites, convergences, tracés (Orelle) 13-05-04 à 22:13

Salut,

  Désolé de ne pas t'avoir répondu plus tôt!
J'avais vraiment beaucoup de Devoirs
et je n'ai malheureusement pas énormement avancé en Maths mais
ça y est j'ai décidé de m'y remettre  
Je ne sais pas comment tu fais pour trouver le temps de m'aider
mais MERCI encore à toi  c'est vraiment très sympa et ça m'aide
énormement !!
Je me permet ENCORE de te demander des explications
et je crains que ce ne soit pas la dernière fois ?!!  
Enfin voilà, cette fois je me suis un peu mieux débrouillée, j'ai
moins de questions à te poser !
Il s'agit des 2 dernières questions:
En fait je voulais savoirs si Vn=(-1/2)*(2/5)[/sup]n était la réponse
à "exprimer Vn en fonction de n" ou si il fallait aller plus loin?
Pour finir, j'ai, comme tu me l'avais dis, essayé d'exprimer
"Un en fonction de n" en fonction de Vn
on a Vn(Un+2)=Un-1 jusqu'ici je comprends! c'est après que
je me mélange!
j'utilise la question précédente et je remplace Vn par (-1/2)*(2/5)[sup]
n
  mais je ne vois pas comment faire avec la puissance n ??

Posté par Orelle (invité)Pour Guill64 ou tt autre pers qui s ennuie! pb de Suites 14-05-04 à 19:01

Personne ne peux m'aider !?

Posté par
Victor
re : Suite et fonction 14-05-04 à 19:20

Bonsoir,

Effectivement Vn=(-1/2)*(2/5)n peut être la réponse
à "exprimer Vn en fonction de n"

Vn(Un+2)=Un-1
VnUn+2Vn=Un-1
2Vn+1=Un-VnUn
2Vn+1=Un(1-Vn)

Donc Un=(2Vn+1)/(1-Vn)

Ensuite, tu utilises la question précédente et je remplace Vn par (-1/2)*(2/5)n
Soit Un=((2/5)n+1)/(1-(1/2)(2/5)n)

@+

Posté par Orelle (invité)Pour Guill64 ou tt autre pers qui s ennuie! pb de Suites 15-05-04 à 10:52

Merci beaucoup Victor pour ton aide !!  

Il me reste une question (très rapide) sur laquelle je bloque !
Il s'agit de celle où il faut démontrer que
U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4) (se rapprter à l'énoncé plus haut)
J'ai remplacé U(n+1) par la valeur donnée et j'ai développé mais
je n'arrive pas à passer de
U(n+1)-Un=[-Un+2-(Un)²]/(Un+4)
à  U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4)
il doit me manquer une ou deux étapes !

Merci d'avance
@+
  Orelle

Posté par
Victor
re : Suite et fonction 15-05-04 à 11:31

La seule étape qui manque est la factorisation de
-x²-x+2=(1-x)(x+2) (à vérifier en développant par exemple).
On a alors le résultat en remplaçant x par Un.

@+

Posté par (invité)re : Suite et fonction 15-05-04 à 12:09

Merci pour ton aide !

PS:n'y aurait-il pas une erreur de signe dans ta réponse précédente?
J'ai refais les calculs e tje ne trouve pas
Un=((2/5)n+1)/(1-(1/2)(2/5)n) mais
Un=(-(2/5)n+1)/(1-(1/2)(2/5)n) ???

Posté par
Victor
re : Suite et fonction 15-05-04 à 12:25

Tu as tout à fait raison

@+

Posté par Orelle (invité)Pour Guill64 ou tt autre pers qui s ennuie! pb de Suites 15-05-04 à 13:50

Merci !  
@+

Posté par
Victor
re : Suite et fonction 15-05-04 à 14:14

Avec plaisir

Posté par Orelle (invité)Pour Guill64 ou tt autre pers qui s ennuie! pb de Suites 15-05-04 à 23:57

Bonsoir,
je sais que ça commence à faire beaucoup de questions..... mais voilà
je coince....et j'aurais besoin d'aide !!!!  
Il y a des questions auxquelles je n'arrive pas à répondre et ça
fait longtemps que je suis dessus, je n'ai quasiment pas avancé
!
(en fait il s'agit de questions qui suivent un précédent énoncé
déjà posté dans un autre topic fermé depuis.)
Enoncé:
Soit f la fonction définie sur [0;+inf[ par
f(x)=5/6[(2x+3)"au cube"/(2x+1)"au cube"]
PARTIE A

  Je sais que:
*la limite de f en + inf est de 5/6
*f décroissante sur [0;+inf[
*f bornée par I=]5/6;45/2]
*l'équation f(x)=1 admet une unique solution "alfa" sur [0;+inf[
*la valeur approchée de "alfa" à 10"puissance -1" près est de 15,4(je
ne sais pas quelle unité employer ici ??)

On me demande ensuite de comparer suivant les valeurs de x  f(x) à 1
(là j'vois pas trop comment faire !!)

PARTIE B

Soit (Un) la suite définie sur N par
Un=((2n+1)"au cube)/(1,2"puissance n")
-Il faut calculer les 5 premiers termes de la suite   ce que j'ai
fais, seulement voilà j'ai perdu mes résultats !cela dit, j'devrais
pouvoir y RE-arriver lol il me semble qu'il fallait remplacer
n par 0;1;2;3;4;5
-Humm ensuite, il faut calculer le 1000 ième terme de la suite là aussi
je crois qu'il faut remplacer n par 1000 mais j'ai doute
?!
-calculer (U(n+1))/(Un) en fonction de n
-Etudier les variations de (Un) (Utiliser partie A)
-et pour finir, démontrer que (Un) est bornée sur N

Voilà!!
à bientôt j'espère
et merci d'avance
        Orelle  

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : Suite et fonction 16-05-04 à 00:02

Oui, effectivement ça commence à faire beaucoup là :
On a déjà essayé de t'aider

https://www.ilemaths.net/sujet-orelle-11229.html

(ce topic là n'est pas fermé pourtant)

Posté par Orelle (invité)Pour Guill64 ou tt autre pers qui s ennuie! pb de Suites 16-05-04 à 17:52

Y'a vraiment personne pour m'aider ?!  

J'ai réussis à comparer f(x) à 1 suivant les valeurs de x
et je trouve f(x) <1 lorsque x appartient à ]"alfa";+inf[
f(x)=1 lorsque x="alfa"
et f(x)>1 lorsque x appartient à [0;"alfa"[
J'ai également réussis à recalculer les 5 premiers termes de la suite
mais j'vois vraiment pas comment faire pour les questions qui suivent
et je dois y répondre pour demain.
Si quelqu'un pouvait m'aider !?

Posté par
Océane Webmaster
re : Suite et fonction 16-05-04 à 19:59

Pour une meilleure lisibilité du forum, tu ne peux pas poster les
questions qui se rapportent à un exercice dans le topic concerné
?
Ton exercice n'a plus rien à voir avec lme début du topic.
Je vérouille donc !
Pour info, ton topic concernant ce sujet n'est pas vérouillé !



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