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Niveau Maths sup
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suite géométrique

Posté par Algerien (invité) 21-10-04 à 13:27

je vous invites à resoudre cette equation;
x , y , z etant trois termes successifs d'une suite geométrique :
1/x + 1/y + 1/z = 36
1/x^2+ 1/y^2 + 1/z^2 = 126
bonne chance.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite géométrique 21-10-04 à 15:40

Soit q la raison de la suite.
On a:
y = xq
z = xq²

1/x + 1/(xq) + 1/(xq²) = 36
1/x² + 1/(x²q²) + 1/(x²q^4) = 126

q² + q + 1 = 36xq²
q^4 + q² + 1 = 126 x²q^4

xq² = (q²+q+1)/36
x²q^4 = [(q²+q+1)/36]²

q^4 + q² + 1 = 126 [(q²+q+1)/36]²

q^4 + q² + 1 = (126/1296) (q^4 + q² + 1 + 2q³ + 2q² + 2q)
q^4 + q² + 1 = (7/72) (q^4 + 2q³ + 3q² + 2q + 1)
72q^4 + 72q² + 72 = 7q^4 + 14 q³ + 21 q² + 14q + 7
65q^4 - 14 q³ + 51q² - 14q + 65 = 0

Cette équation a des coefficients palindromes, ce qui facilite la recherche de ses solutions.

Mais cette équation n'a pas de solutions réelles ????
On trouve des solutions complexes.

q = -0,5 +/- i. (V3)/2
q = 0,607692307692 +/- 0,794172562591 i

supposons q =  -0,5 - i. (V3)/2
q² + q + 1 = 36xq²
-> x = 0 -> interdit.

supposons q =  -0,5 + i. (V3)/2
q² + q + 1 = 36xq²
-> x = 0 -> interdit.

Supposons q = 0,607692307692 + 0,794172562591 i
q² + q + 1 = 36xq²
-> x = 0,037396449704 - 0,048872157698 i
On a alors y = 0,061538461538 et z =  0,037396449704 + 0,048872157698 i
----
On a :
x = 0,037396449704 - 0,048872157698 i
y = 0,061538461538
z =  0,037396449704 + 0,048872157698 i

La raison de la suite étant q = 0,607692307692 + 0,794172562591 i
-----
On peut croiser les valeurs  de x et z avec q = 0,607692307692 - 0,794172562591 i
-----
Je n'ai évidemment rien vérifié.  

Posté par
franz
re : suite géométrique 25-10-04 à 23:43

Bonjour Algérien

En posant
y= \frac x q\\z = \frac x {q^2}
on arrive à
\left{\begin{tabular}{rcl}36 & = & \frac 1 x .\frac{1-q^3}{1-q}\\126 & = & \frac 1 {x^2}.\frac{1-q^6}{1-q^2}\end{tabular}
soit en divisant terme à terme les deux égalités
\left{\begin{tabular}{rcl}36 & = & \frac 1 x .\frac{1-q^3}{1-q}\\\frac{126}{36} & = & \frac 1 {x}.\frac{1+q^3}{1+q}\end{tabular}

En refaisant le quotient de ces deux équations on montre que q doit être racine de 65 q² - 79 q + 65 = 0
\hspace{100ex}q=\frac {79 +/- i \sqrt{10659}}{130}\\\hspace{100ex}x=\frac {2(79 +/- i \sqrt{10659})}{4225}

c'st-à-dire le résultat proposé par J-P

Posté par Algerien (invité)la réponse 27-10-04 à 22:21

je vous félicite pour vos idées astucieuses,mais la réponses n'est pas aussi dure que ça;
en effet,
1/x^2+1/y^2+1/z^2=(1/x +1/z)^2-2/xz + 1/y^2
avec; xz=y^2 (propriété de la suite géom.)
donc:// = (1/x + 1/z)^2-1/y^2
     // = (1/x + 1/z - 1/y)*(1/x + 1/y + 1/z)
on sait que; 1/x + 1/y + 1/z = 36
donc; 1/x - 1/y + 1/z = 126/36
      et
     1/x + 1/y + 1/z = 36
par soustraction des deux équations on obtient
2/y = 36 - 126/36 (vous pouvez prendre des applications numériques plus commodes)
et le reste est facile,introduire la raison r dans une de ces équations (la deuxième de préférence)
du coup, on a ;x,y,z.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite géométrique 27-10-04 à 23:18

Tous les chemins mênent à Rome, et il me semble que pour les 3 solutions proposées, si elles sont complètement menées à terme, elles ne sont guère plus courtes ou directes l'une que les autres.








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