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Niveau Maths sup
suite menant aux fractales
Posté par Al-khwarizmi
Bonsoir,
Je prépare mon TFE (travail de fin d'études) sur les fractales. Cependant j'ai un petit souci, je n'arrive pas à comprendre cet algorithme simple qui mène à l'ensemble de Mandelbrot. Pourriez - vous m'aider?
" Soit la formule: Zn = (Zn-1 ) ² + C
§ Selon la valeur initiale Z0 de Zn et pour une valeur donnée de C,
§ la fonction diverge rapidement vers l'infini,
§ ou alors, converge vers une valeur fixe (cas où Zn < 1)
§ De manière surprenante, les zones de convergences sont intimement mêlées aux zones de divergences.
§ Pour obtenir un graphique,
§ on exécute le calcul dans le monde des nombres complexes.
Z = X + iY
§ On marque en noir les valeurs de C (réel en X, imaginaire en Y) qui donnent une convergence.
§ Le programme sur ordinateur est particulièrement simple pour un effet spectaculaire.
§ On peut recommencer le dessin pour différentes valeurs initiales de C
§ et obtenir différentes figures fractales.
§ Une autre représentation fractale qui donne une idée de la convergence en fonction de la valeur initiale de Z0
§ s'appelle l'ensemble de Julia.
§ Il existe quantité de fonctions qui donnent de magnifiques figures par itérations:
z3, ez , etc."
Pourriez - vous me donner un exemple de suite, avec certaines valeurs "simples" et m'éclairer un peu su la notion de convergence/divergence dans les complexes...
Merci d'avance à tous ceux qui liront ce post.
Bien à vous,
Al
Bonjour Al
La convergence dans les complexes est définie comme dans R, avec le module à la place de la valeur absolue.
Une suite Un de complexes converge vers le complexe l ssi la suite des distances |Un - l| converge vers 0 (dans R).
Ex: Z0=i et C=i
Z1=-1+i
Z2=(-1+i)²+i=-i
Z3=(-i)²+i=-1+i
On a Z3=Z1 donc il y a deux sous-suites stationnaires dans ce cas (les termes de rang impair valent -1+i, ceux d'ordre pair supérieur ou égal à 2 valent -i), mais Zn ne converge pas.
Selon les valeurs que tu donneras à Z0 et à C, il y aura ou non convergence.
Citation :
" Soit la formule: Zn = (Zn-1 ) ² + C
§ Selon la valeur initiale Z0 de Zn et pour une valeur donnée de C,
§ la fonction diverge rapidement vers l'infini,
§ ou alors, converge vers une valeur fixe (cas où Zn < 1)
" Soit la formule: Zn = (Zn-1 ) ² + C
§ Selon la valeur initiale Z0 de Zn et pour une valeur donnée de C,
§ la fonction diverge rapidement vers l'infini,
§ ou alors, converge vers une valeur fixe (cas où Zn < 1)
Non , je ne crois pas qu'il n'y'ait que ces deux possibilités : la suite peut trés bien être bornée sans converger comme dans le cas cité par Tigweg
A mon avis l'ensemble de Julia