Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence

Posté par
nino00
12-12-21 à 12:31

Salut,
Si vous avez une idée à me proposer pour répondre à cet exercice je serais très reconnaissant et merci d'avance :

Dans un espace métrique, soit ( x_{n} )   une suite définie par récurrence par x_{n+1} = f(x_{n})  avec f est continue
Montrer que si ( x_{n} ) a une seule valeur d'adhérence alors   ( x_{n} )  converge

J'ai montré que cette valeur d'adhérence est un point fixe de f je ne sais pas comment continué et je ne sais pas si c'est la bon piste
Merci

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 12:41

Salut.,
Est ce que le fait de montrer que la valeur d'adhérence est un point fixe de f  entraine que la suite est convergente ??
Car c est la seule valeur d adhérence de la suite

Posté par
DOMOREA
suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence 12-12-21 à 13:14

bonjour,
un espace métrique est complet et une suite qui a une seule valeur d'adhérence est  de Cauchy donc...

Posté par
jarod128
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 13:26

Bonjour, exercice pas très facile.
Je le ferais par l'absurde. Quelques idées à bien réécrire. Soit a la valeur d'adhérence. Suppose que la suite ne converge pas vers a. Fixe epsilon, tu peux donc construire deux sous-ensembles infinis de N que j'appelle N1 et N2 tels que |(xn) - a| <epsilon sur N1 et inversement (supérieur) sur N2.
Pour tout N grand, on peut obtenir un n1=n2-1 avec n1 dans N1 et n2 dans N2. En prenant le plus petit couple le vérifiant.
Du coup, en "augmentant" N on construit une suite extraite d'élément dans le compact f([a-epsilon;a+epsilon]) compact image d'un compact par une fonction continue.
Du coup elle admet une valeur d'adhérence qui ne peut pas être a car ses termes sont éloignés de a (car indices dans N2) D'oà la contradiction.
On pourra me reprocher d'avoir "fait" l'exercice mais je pense que rien que la rédaction correcte de mes explications reste formateur.  

Posté par
jarod128
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 13:31

DOMOREA @ 12-12-2021 à 13:14

bonjour,
un espace métrique est complet et une suite qui a une seule valeur d'adhérence est  de Cauchy donc...

Bonjour DOMOREA. Un espace métrique n'est pas toujours complet!

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 13:55

DOMOREA @ 12-12-2021 à 13:14

bonjour,
un espace métrique est complet et une suite qui a une seule valeur d'adhérence est  de Cauchy donc...


Je ne pense pas que tout espace métrique est complet ??

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 13:58

jarod128 @ 12-12-2021 à 13:26

Bonjour, exercice pas très facile.
Je le ferais par l'absurde. Quelques idées à bien réécrire. Soit a la valeur d'adhérence. Suppose que la suite ne converge pas vers a. Fixe epsilon, tu peux donc construire deux sous-ensembles infinis de N que j'appelle N1 et N2 tels que |(xn) - a| <epsilon sur N1 et inversement (supérieur) sur N2.
Pour tout N grand, on peut obtenir un n1=n2-1 avec n1 dans N1 et n2 dans N2. En prenant le plus petit couple le vérifiant.
Du coup, en "augmentant" N on construit une suite extraite d'élément dans le compact f([a-epsilon;a+epsilon]) compact image d'un compact par une fonction continue.
Du coup elle admet une valeur d'adhérence qui ne peut pas être a car ses termes sont éloignés de a (car indices dans N2) D'oà la contradiction.
On pourra me reprocher d'avoir "fait" l'exercice mais je pense que rien que la rédaction correcte de mes explications reste formateur.  


Merci beaucoup,
Je vais essayer de bien rédiger votre réponse  

Posté par
DOMOREA
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 14:04

oui en effet si l'espace métrique était complet, mais là on ne le sait pas...

Posté par
DOMOREA
suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence 12-12-21 à 14:15

on pourrait utiliser le complété de l'espace métrique considéré et utiliser la continuité de f sur la valeur d'adhérence.

Posté par
DOMOREA
suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence P 12-12-21 à 14:51

autre idée mais qui rejoint la précédene
L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy,
Si (Un) ne convergeait pas, alors f(Un) ne serait pas convergente, ce qui contedit la continuité

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 14:59

jarod128 @ 12-12-2021 à 13:26


Du coup, en "augmentant" N on construit une suite extraite d'élément dans le compact f([a-epsilon;a+epsilon]) compact image d'un compact par une fonction continue.  


Salut Jarod128,
Je n'est pas bien compris ce passage
Merci

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 15:04

DOMOREA @ 12-12-2021 à 14:51

autre idée mais qui rejoint la précédene
L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy,
Si (Un) ne convergeait pas, alors f(Un) ne serait pas convergente, ce qui contedit la continuité

Le problème ici est que l'espace métrique est quelconque, je ne sais pas si on a le droit de travailler avec la complété en plus j'ai besoin de jeter un coup d'œil  sur le cours de la topologie ...
Merci bcp

Posté par
DOMOREA
suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence 12-12-21 à 16:51

Oublie ce que j'ai dit sur le complété quoi que cela me semble une piste et je reviens sur ma dernière intervention.

(U_n) est une suite de cauchy, je pense que c'est OK pour toi.

L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy ? D'accord ?

Mais ici (U_n) n'est pas n'importe quelle suite , elle est de la forme U_{n+1}=f(U_n)

(f(U_n)) a donc la même unique valeur d'adhérence que (U_n)

Notons a cette valeur d'adhérence, un prolongement par continuité donne f(a)=a.

même  si f n'est pas  définie en a, ne peut-on pas dire que lim(U_n)=a ?

Posté par
verdurin
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 16:56

Bonsoir,
j'ai l'impression que la question de départ a été oubliée.

Citation :
Montrer que si ( x_{n} ) a une seule valeur d'adhérence alors   ( x_{n} )  converge.

Il est inutile de savoir si l'espace métrique est complet ou pas.
On a une valeur d'adhérence dans cet espace par hypothèse.

Posté par
jarod128
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 18:31

nino00 @ 12-12-2021 à 14:59

jarod128 @ 12-12-2021 à 13:26


Du coup, en "augmentant" N on construit une suite extraite d'élément dans le compact f([a-epsilon;a+epsilon]) compact image d'un compact par une fonction continue.  


Salut Jarod128,
Je n'est pas bien compris ce passage
Merci

Notre epsilon est fixé. On a nos deux sous ensembles infinis N1 et N2.
On prend un N. Puis le premier couple (n2-1,n2) dans N1xN2 vérifiant ce que je voulais et supérieur à N. Prend un nouveau N plus grand que n2 et on recommence. On  construit une suite de "n2" strictement croissante vérifiant mes hypothèses.

Posté par
jarod128
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 18:33

En fait je me ramène à un compact (ici un intervalle) pour avoir une valeur d'adhérence mais la particularité de ma suite dans ce compact est qu'elle n'a pas a comme valeur d'adhérence. Donc c'est una autre valeur et donc contradiction.

Posté par
carpediem
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 20:01

salut

je propose une autre méthode ... pour savoir aussi si elle est valide ...

nino00 @ 12-12-2021 à 12:31

Dans un espace métrique, soit ( x_{n} )   une suite définie par récurrence par x_{n+1} = f(x_{n})  avec f est continue
Montrer que si ( x_{n} ) a une seule valeur d'adhérence alors   ( x_{n} )  converge

soit E cet espace métrique et a la valeur d'adhérence de la suite.

1/ a est point fixe de f

2/ f se prolonge donc par continuité sur E U {a} en posant f(a) = a

3/ si (x_n) converge alors elle converge vers a : se démontre immédiatement avec la définition de la limite : si \lim x_n = b $ et $ b \ne a il suffit de prendre \epsilon = \dfrac 1 2 (b - a)

4/ f est continue (en a) donc \forall h > 0  :  \exists r > 0   /  \forall x \in B(a, r)  :  |f(x) - f(a)| \le h

5/ a est valeur d'adhérence de la suite donc il existe  une sous-suite  (x_{g(n)}) convergente vers a

6/ il existe donc un entier N tel que : n \ge N \Longrightarrow |x_{g(n)} - a| \le r

7/ alors |x_{g(n) + 1} - a| = |f(x_{g(n)} - f(a)| \le h

8/ en fait on peut choisir r < h

9/ on conclut alors par récurrence ...


c'est évidemment ce point 8/ qui est peut-être fallacieux    

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 20:58

carpediem @ 12-12-2021 à 20:01

salut

je propose une autre méthode ... pour savoir aussi si elle est valide ...

nino00 @ 12-12-2021 à 12:31

Dans un espace métrique, soit ( x_{n} )   une suite définie par récurrence par x_{n+1} = f(x_{n})  avec f est continue
Montrer que si ( x_{n} ) a une seule valeur d'adhérence alors   ( x_{n} )  converge

soit E cet espace métrique et a la valeur d'adhérence de la suite.

1/ a est point fixe de f

2/ f se prolonge donc par continuité sur E U {a} en posant f(a) = a

3/ si (x_n) converge alors elle converge vers a : se démontre immédiatement avec la définition de la limite : si \lim x_n = b $ et $ b \ne a il suffit de prendre \epsilon = \dfrac 1 2 (b - a)





8/ en fait on peut choisir r < h

9/ on conclut alors par récurrence ...


[/bleu]  

Salut  merci pour votre réponse
J'ai pas compris le point 3) comment on montre que la limite si elle existe elle est égale à a .. je sais que si la suite de ce genre converge elle converge vers le point fixe (ici on ne sait pas si a est l'unique point fixe?)
pour le 8) est ce que c'est possible  pourquoi??
et pour la récurrence on va conclure quoi ( c'est pas évident pour moi)
et Merci

Désolé  

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:01

jarod128 @ 12-12-2021 à 18:31

nino00 @ 12-12-2021 à 14:59

jarod128 @ 12-12-2021 à 13:26


Du coup, en "augmentant" N on construit une suite extraite d'élément dans le compact f([a-epsilon;a+epsilon]) compact image d'un compact par une fonction continue.  


Salut Jarod128,
Je n'est pas bien compris ce passage
Merci

Notre epsilon est fixé. On a nos deux sous ensembles infinis N1 et N2.
On prend un N. Puis le premier couple (n2-1,n2) dans N1xN2 vérifiant ce que je voulais et supérieur à N. Prend un nouveau N plus grand que n2 et on recommence. On  construit une suite de "n2" strictement croissante vérifiant mes hypothèses.


Salut,
Donc ici vous n'avez pas utiliser la continuité de f ...
la question que j'ai est pourquoi les éléments de la suite extraite d'élément que vous avez trouvé est dans le compact f([a-epsilon;a+epsilon])??

Posté par
carpediem
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:03

carpediem @ 12-12-2021 à 20:01

3/ si (x_n) converge alors elle converge vers a : se démontre immédiatement avec la définition de la limite : si \lim x_n = b $ et $ b \ne a il suffit de prendre \epsilon = \dfrac 1 2 (b - a)

ben pourtant je te dis tout !!!

que signifie : lim x_n = b ?

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:03

DOMOREA @ 12-12-2021 à 16:51

Oublie ce que j'ai dit sur le complété quoi que cela me semble une piste et je reviens sur ma dernière intervention.

(U_n) est une suite de cauchy, je pense que c'est OK pour toi.

L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy ? D'accord ?

Mais ici (U_n) n'est pas n'importe quelle suite , elle est de la forme U_{n+1}=f(U_n)

(f(U_n)) a donc la même unique valeur d'adhérence que (U_n)

Notons a cette valeur d'adhérence, un prolongement par continuité donne f(a)=a.

même  si f n'est pas  définie en a, ne peut-on pas dire que lim(U_n)=a ?


La suite qu'on a est une suite quelconque ..je pense pas qu'on peut travailler seulement avec les suites de cauchy si non ça serais facile de répondre à l'exercice

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:10

carpediem @ 12-12-2021 à 21:03

carpediem @ 12-12-2021 à 20:01

3/ si (x_n) converge alors elle converge vers a : se démontre immédiatement avec la définition de la limite : si \lim x_n = b $ et $ b \ne a il suffit de prendre \epsilon = \dfrac 1 2 (b - a)

ben pourtant je te dis tout !!!

que signifie : lim x_n = b ?

pour tout  epsilon il existe .... tel  que \mid x_n -b\mid <\epsilon  
et on prend epsilon la valeur que vous avez donner mais j'ai pas pu trouver la contradiction ?

Posté par
carpediem
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:15

bon ben si tu ne veux pas faire l'effort d'écrire complètement et proprement la définition ...

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:23

carpediem @ 12-12-2021 à 21:15

bon ben si tu ne veux pas faire l'effort d'écrire complètement et proprement la définition ...

Désolé c'est du au fait que je ne maitrise pas bien l'ecritue en Latex ici c'est pas fait exprés

\forall \epsilon>0  il existe N\in N (ensemble) \forall n >=N   \mid x_n - b \mid <\epsilon
apres calcul
j ai trouvé que  1/2(b-a)<x_n<1/2(3b-a)
si j'ai bien calculé

Merci

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:25

Il y a contradiction si on suppose par exemple que b est inférieur à a ,
on peut le faire ??

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:32

nino00 @ 12-12-2021 à 21:23

carpediem @ 12-12-2021 à 21:15

bon ben si tu ne veux pas faire l'effort d'écrire complètement et proprement la définition ...

Désolé c'est du au fait que je ne maitrise pas bien l'ecritue en Latex ici c'est pas fait exprés

\forall \epsilon>0  il existe N\in N (ensemble) \forall n >=N   \mid x_n - b \mid <\epsilon
apres calcul
j ai trouvé que  1/2(b-a)<x_n<1/2(3b-a)
si j'ai bien calculé

Merci

Désolé j'ai commis une petite erreur dans l'encadrement

\frac{1}{2}(b+a)<x_n<\frac{1}{2}(3b-a)

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 12-12-21 à 21:56

nino00 @ 12-12-2021 à 21:25

Il y a contradiction si on suppose par exemple que b est inférieur à a ,
on peut le faire ??


Désolé une autre erreur b doit  forcément être supérieur à a pour ce choix d'epsilon

Posté par
carpediem
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 13-12-21 à 17:26

ouais plutôt prendre :

Citation :
3/ si (x_n) converge alors elle converge vers a : se démontre immédiatement avec la définition de la limite : si \lim x_n = b $ et $ b \ne a il suffit de prendre \epsilon = \dfrac 1 2 |b - a|
et il n'y a plus de pb de savoir si a < b ou b < a ...

donc dans la définition de la limite de lim x_n = b il y a le quantificateur ...

donc ...

Posté par
jarod128
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 13-12-21 à 18:42

Pour ma démo, et pour répondre à ta question, les xn[sub]1[/sub] sont par constructions de N1 dans le compact et donc leur image c'est-à-dire f(xn[sub]1[/sub])=xn[sub]2[/sub] dans l'image du compact par f continue donc dans un compact.

Posté par
jarod128
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 13-12-21 à 18:43

Pour ma démo, et pour répondre à ta question, les xn1 sont par constructions de N1 dans le compact et donc leur image c'est-à-dire f(xn1)=xn2 dans l'image du compact par f continue donc dans un compact.

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 13-12-21 à 19:28

jarod128 @ 13-12-2021 à 18:43

Pour ma démo, et pour répondre à ta question, les xn1 sont par constructions de N1 dans le compact et donc leur image c'est-à-dire f(xn1)=xn2 dans l'image du compact par f continue donc dans un compact.


Salut,
D'accord maintenant j'ai bien compris ce passage ... merci beaucoup

Posté par
DOMOREA
suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence 14-12-21 à 11:56

bonjour,
au fur et à mesure des posts je vois apparaître des notions qui n'ont pas de sens dans un espace métrique quelconque.
comme des opérations  (1/2)(3b-a), e=(1/2)(b-a) avec a et b dans E. Il n'est pas dit que E est un espace vectoriel.

En lisant l'ensemble des posts, je n'ai pas compris si une démonstration correcte a été établie.

C'est pour cette raison que je fais ici une ultime tentative.

notation: \overset{o}{B}(x,\alpha) boule ouverte,\{y\in E/d(x,y)<\alpha\}

\overset{-}{B}(x,\alpha) boule fermée,\{y\in E/d(x,y)\leq\alpha\}

Je garde a l'unique valeur d'adhérence et f(a)=a, par prolongement par continuité.

je veux démontrer  que \forall \epsilon>0 il n'y a qu'un nombre fini d'éléments U_nde la suite en dehors de la boule \overset{o}{B}(a,\epsilon)

\forall \epsilon >0, \exists\eta>0,\forall U_n\in \overset{o}{B}(a,\eta), U_{n+1}\in \overset{o}{B}(f(a),\epsilon)=\overset{o}{B}(a,\epsilon) continuité de f

Ainsi si \epsilon\leq \eta,    U_n\in \overset{o}{B}(a,\eta)\Rightarrow \forall p\in \mathbb{N}, U_{n+p}\in \overset{o}{B}(a,\epsilon) dans ce cas il n'existe  qu'un nombre fini de termes U_n à l'extérieur de la boule\overset{o}{B}(a,\epsilon)

Si \epsilon> \eta, \overset{o}{B}(a,\eta)\subset  \overset{o}{B}(a,\epsilon)

Considérons le fermé borné \overset{-}{B}(a,\epsilon) privé de \overset{o}{B}(a,\eta) dans l'espace E complété, c'est un compact, il ne peut contenir  une infinité d'éléments U_n car sinon il y aurait au moins un point d'adhérence distinct de a.

Cette partie n'ayant donc qu'un nombre fini d'éléments U_n , il existe un indice n minimum  notons le p. et U_p l'élément de la suite correspondant.  
            
mais alors  d'après  ce qui précède \forall k>p,U_k \in \overset{-}{B}(x,\epsilon)

ce qui veut dire qu'à l'extérieur de \overset{-}{B}(x,\epsilon) il existe au plus p éléments de la suite

Posté par
jarod128
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 14-12-21 à 13:13

Je pense que l'on peut adapter ma démo avec d(x,a) pour |x-a|

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 14-12-21 à 14:20

DOMOREA @ 14-12-2021 à




Considérons le fermé borné[tex


\overset{-}{B}(a,\epsilon) [/tex]privé de \overset{o}{B}(a,\eta) dans l'espace E complété, c'est un compact, il ne peut contenir  une infinité d'éléments U_n car sinon il y aurait au moins un point d'adhérence distinct de a.

.






   Salut,  merci pour votre réponse... Je n'ai pas bien compris ce passage pourquoi il y aurait d'autre point d adherence que a (désolé je  sais que j'ai besoin de réviser mes leçon)

Et pour les deux dernier ligne de votre démonstration je pense que c est la boule ouverte de centre a n'est pas ?  Au lieu de la boule fermé de centre x

Merci bcp

Posté par
DOMOREA
suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence 14-12-21 à 15:29

Dans un compact d'un espace métrique, toute suite possède au moins un point d'accumulation.

@jarod128 je ne visais pas particulièrement la notation |a-b| qui est cependant malheureuse à cause du "moins" mais surtout des expressions sans barres de norme (12/12) à 20h01; à 21h23, à 23h36

Pour améliorer la compréhension de mon texte, j'espère que vous avez compris que j'ai utilisé la remarque que fk=f°f°f°...f(a)=a (f répété k fois)
ainsi     d(U_{n+p}, a) =d(f^p(U_n),f^p(a)) et f^p est continue, d(f^p(U_n),f^p(a))=d(f^{p-1}(f(U_n),f^{p-1}f(a))=d(f(f^{p-1}U_n)),f(f^{p-1})(a))

Autre chose, sauf erreur, dans  un espace métrique une boule est bornée (Inégalité triangulaire pour la distance)

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 15-12-21 à 18:08

DOMOREA @ 14-12-2021 à 11:56



Ainsi si \epsilon\leq \eta,    U_n\in \overset{o}{B}(a,\eta)\Rightarrow \forall p\in \mathbb{N}, U_{n+p}\in \overset{o}{B}(a,\epsilon) dans ce cas il n'existe  qu'un nombre fini de termes U_n à l'extérieur de la boule\overset{o}{B}(a,\epsilon)



Salut,
donc on a montré ici que si il existe un terme de la suite dans la boule  \overset{o}{B}(a,\epsilon)   tous les autres termes d'indice supérieur sont dans la boule
est ce que l'existence de ce terme  est du au fait que a est une valeur d'adhérence de la suite ??  (désolé  si ma question peut paraitre banale mais j'essaye de bien comprendre les choses...)

DOMOREA @ 14-12-2021 à 11:56




Cette partie n'ayant donc qu'un nombre fini d'éléments U_n , il existe un indice n minimum  notons le p. et U_p l'élément de la suite correspondant.  
            
mais alors  d'après  ce qui précède \forall k>p,U_k \in \overset{-}{B}(x,\epsilon)

ce qui veut dire qu'à l'extérieur de \overset{-}{B}(x,\epsilon) il existe au plus p éléments de la suite


Pour les termes qui sont dans la boule fermé  \overset{-}{B}(a,\epsilon) ils sont finis on prend p le plus grand indice de ces termes ainsi   \forall k>p,U_k \notin \overset{-}{B}(a,\epsilon)  donc ils vont être  dans la boule  \overset{o}{B}(a,\epsilon)
c'est bien ça ou non ??

Merci

Posté par
nino00
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 15-12-21 à 18:14





Salut,
donc on a montré ici que si il existe un terme de la suite dans la boule  \overset{o}{B}(a,\eta)   tous les autres termes d'indice supérieur sont dans la boule  \overset{o}{B}(a,\epsilon)

(rectification)

Posté par
etniopal
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 16-12-21 à 19:01

    Bonsoir !

   Il y a quand même quelque  chose de curieux !

  1. L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy  ?
      Mais E =  *  , f : x 1/x est continue  , u : n 1/n  est   Cauchy  mais f o u  ne l'est pas .


  2.Un fermé borné  dans un espace  métrique  complet  est  compact ?
     Mais si  E =     ,  d  :  (x , y)    |Arctan(x) - Arctan(y)| est une distance  sur E définissant la topologie usuelle  et les mêmes suites de Cauchy  .
Toute partie de E est d-bornée  mais il y a des fermés non compacts.
  

Posté par
verdurin
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 16-12-21 à 22:33

Bonsoir etniopal.
J'ai un doute sérieux sur ton 2.
Plus précisément il me semble que la distance que tu donnes ne définie pas la topologie usuelle sur \R.
Et, à vue de nez, je dirais que  \R muni de cette distance est compact.

Posté par
luzak
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 16-12-21 à 22:58

La distance donnée par etniopal est bien topologiquement équivalente à la distance usuelle.
Mais cette distance n'est pas uniformément équivalente (on dit alors en plus court : distances équivalentes) à la distance usuelle .
Mais pour cette distance \R n'est pas compact : la suite n\mapsto n est une suite de Cauchy divergente.

La continuité ne suffit pas pour envoyer une suite de Cauchy sur une suite de même nature. Le bon théorème consiste à utiliser une fonction uniformément continue .

Les deux problèmes précédents sont d'ailleurs liés :
Des distances topologiquement équivalentes se traduisent par la continuité de l'identité ainsi que celle de sa réciproque.
Pour des distances équivalentes l'application identité et sa réciproque sont uniformément continues.

Posté par
etniopal
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 17-12-21 à 08:59

   Je sais très bien que  les distances sur que j'ai indiquées ne sont pas équivalentes , bien qu'elles le soient topologiquement .
   Il n'empêche que je lis , dans un message , qu'un "fermé borné  dans un espace  métrique  complet  est  compact  "  

Posté par
DOMOREA
suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhérence 17-12-21 à 16:05

bonjour,
à etnopial
Dans ton contre exemple du post 16/12 à 19h01 tu n'as pas u_{n+1}=f(U_n})
D'autre part:

Citation :
2.Un fermé borné  dans un espace  métrique  complet  est  compact ?
     Mais si  E =     ,  d  :  (x , y)    |Arctan(x) - Arctan(y)| est une distance  sur E définissant la topologie usuelle  et les mêmes suites de Cauchy  .
Toute partie de E est d-bornée  mais il y a des fermés non compacts.

Dans ton exemple 2, je n'arrive pas à trouver Un boule fermée bornée qui ne soit pas compact.
Peux-tu m'éclairer?

Posté par
luzak
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 17-12-21 à 17:24

L'espace métrique (\R,d) introduit par etniopal n'est pas complet (j'ai donné plus haut l'exemple d'une suite de Cauchy divergente) donc \R n'est pas un ensemble compact pour cette distance.
Mais ici \R est la boule fermée de rayon \pi/2, centre 0 car l'ensemble des x réels vérifiant |\arctan x-\arctan 0|\leq\dfrac{\pi}2 est égal à \R.

Je sais que \R est aussi la boule ouverte (de mêmes centre et rayon) mais cela veut dire simplement que la sphère est vide !

Posté par
etniopal
re : suite récurrente dans un espace métrique et valeur d'adhére 17-12-21 à 17:29

   Bonsoir !
-------------------
  @DOMOREA  

Dans mon exemple 2 , l'espace topologique est
   et la distance d   définit   la  topologie  usuelle .
Les d-fermés sont  donc les   fermés usuels .

  L'espace tout entier    est un d-borné  et aussi un fermé . Or il n'est pas compact .
___________________
  
    Concernant les suites de Cauchy : tu as écrit  (et il me semble conseillé d'oublier  )
     "L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy " .
     Je ne parlais pas de la situation particulière de  l'exo où , peut-être ....
  




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !