Salut,
Si vous avez une idée à me proposer pour répondre à cet exercice je serais très reconnaissant et merci d'avance :
Dans un espace métrique, soit une suite définie par récurrence par avec f est continue
Montrer que si a une seule valeur d'adhérence alors converge
J'ai montré que cette valeur d'adhérence est un point fixe de f je ne sais pas comment continué et je ne sais pas si c'est la bon piste
Merci
Salut.,
Est ce que le fait de montrer que la valeur d'adhérence est un point fixe de f entraine que la suite est convergente ??
Car c est la seule valeur d adhérence de la suite
bonjour,
un espace métrique est complet et une suite qui a une seule valeur d'adhérence est de Cauchy donc...
Bonjour, exercice pas très facile.
Je le ferais par l'absurde. Quelques idées à bien réécrire. Soit a la valeur d'adhérence. Suppose que la suite ne converge pas vers a. Fixe epsilon, tu peux donc construire deux sous-ensembles infinis de N que j'appelle N1 et N2 tels que |(xn) - a| <epsilon sur N1 et inversement (supérieur) sur N2.
Pour tout N grand, on peut obtenir un n1=n2-1 avec n1 dans N1 et n2 dans N2. En prenant le plus petit couple le vérifiant.
Du coup, en "augmentant" N on construit une suite extraite d'élément dans le compact f([a-epsilon;a+epsilon]) compact image d'un compact par une fonction continue.
Du coup elle admet une valeur d'adhérence qui ne peut pas être a car ses termes sont éloignés de a (car indices dans N2) D'oà la contradiction.
On pourra me reprocher d'avoir "fait" l'exercice mais je pense que rien que la rédaction correcte de mes explications reste formateur.
on pourrait utiliser le complété de l'espace métrique considéré et utiliser la continuité de f sur la valeur d'adhérence.
autre idée mais qui rejoint la précédene
L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy,
Si (Un) ne convergeait pas, alors f(Un) ne serait pas convergente, ce qui contedit la continuité
Oublie ce que j'ai dit sur le complété quoi que cela me semble une piste et je reviens sur ma dernière intervention.
est une suite de cauchy, je pense que c'est OK pour toi.
L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy ? D'accord ?
Mais ici n'est pas n'importe quelle suite , elle est de la forme
a donc la même unique valeur d'adhérence que
Notons a cette valeur d'adhérence, un prolongement par continuité donne f(a)=a.
même si f n'est pas définie en a, ne peut-on pas dire que ?
Bonsoir,
j'ai l'impression que la question de départ a été oubliée.
En fait je me ramène à un compact (ici un intervalle) pour avoir une valeur d'adhérence mais la particularité de ma suite dans ce compact est qu'elle n'a pas a comme valeur d'adhérence. Donc c'est una autre valeur et donc contradiction.
salut
je propose une autre méthode ... pour savoir aussi si elle est valide ...
ouais plutôt prendre :
Pour ma démo, et pour répondre à ta question, les xn[sub]1[/sub] sont par constructions de N1 dans le compact et donc leur image c'est-à-dire f(xn[sub]1[/sub])=xn[sub]2[/sub] dans l'image du compact par f continue donc dans un compact.
Pour ma démo, et pour répondre à ta question, les xn1 sont par constructions de N1 dans le compact et donc leur image c'est-à-dire f(xn1)=xn2 dans l'image du compact par f continue donc dans un compact.
bonjour,
au fur et à mesure des posts je vois apparaître des notions qui n'ont pas de sens dans un espace métrique quelconque.
comme des opérations (1/2)(3b-a), e=(1/2)(b-a) avec a et b dans E. Il n'est pas dit que E est un espace vectoriel.
En lisant l'ensemble des posts, je n'ai pas compris si une démonstration correcte a été établie.
C'est pour cette raison que je fais ici une ultime tentative.
notation: boule ouverte,
boule fermée,
Je garde a l'unique valeur d'adhérence et f(a)=a, par prolongement par continuité.
je veux démontrer que il n'y a qu'un nombre fini d'éléments de la suite en dehors de la boule
continuité de f
Ainsi si dans ce cas il n'existe qu'un nombre fini de termes à l'extérieur de la boule
Si
Considérons le fermé bornéprivé de dans l'espace E complété, c'est un compact, il ne peut contenir une infinité d'éléments car sinon il y aurait au moins un point d'adhérence distinct de a.
Cette partie n'ayant donc qu'un nombre fini d'éléments , il existe un indice n minimum notons le p. et l'élément de la suite correspondant.
mais alors d'après ce qui précède
ce qui veut dire qu'à l'extérieur de il existe au plus p éléments de la suite
Dans un compact d'un espace métrique, toute suite possède au moins un point d'accumulation.
@jarod128 je ne visais pas particulièrement la notation |a-b| qui est cependant malheureuse à cause du "moins" mais surtout des expressions sans barres de norme (12/12) à 20h01; à 21h23, à 23h36
Pour améliorer la compréhension de mon texte, j'espère que vous avez compris que j'ai utilisé la remarque que fk=f°f°f°...f(a)=a (f répété k fois)
ainsi et est continue,
Autre chose, sauf erreur, dans un espace métrique une boule est bornée (Inégalité triangulaire pour la distance)
Salut,
donc on a montré ici que si il existe un terme de la suite dans la boule tous les autres termes d'indice supérieur sont dans la boule
(rectification)
Bonsoir !
Il y a quand même quelque chose de curieux !
1. L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy ?
Mais E = * , f : x 1/x est continue , u : n 1/n est Cauchy mais f o u ne l'est pas .
2.Un fermé borné dans un espace métrique complet est compact ?
Mais si E = , d : (x , y) |Arctan(x) - Arctan(y)| est une distance sur E définissant la topologie usuelle et les mêmes suites de Cauchy .
Toute partie de E est d-bornée mais il y a des fermés non compacts.
Bonsoir etniopal.
J'ai un doute sérieux sur ton 2.
Plus précisément il me semble que la distance que tu donnes ne définie pas la topologie usuelle sur .
Et, à vue de nez, je dirais que muni de cette distance est compact.
La distance donnée par etniopal est bien topologiquement équivalente à la distance usuelle.
Mais cette distance n'est pas uniformément équivalente (on dit alors en plus court : distances équivalentes) à la distance usuelle .
Mais pour cette distance n'est pas compact : la suite est une suite de Cauchy divergente.
La continuité ne suffit pas pour envoyer une suite de Cauchy sur une suite de même nature. Le bon théorème consiste à utiliser une fonction uniformément continue .
Les deux problèmes précédents sont d'ailleurs liés :
Des distances topologiquement équivalentes se traduisent par la continuité de l'identité ainsi que celle de sa réciproque.
Pour des distances équivalentes l'application identité et sa réciproque sont uniformément continues.
Je sais très bien que les distances sur que j'ai indiquées ne sont pas équivalentes , bien qu'elles le soient topologiquement .
Il n'empêche que je lis , dans un message , qu'un "fermé borné dans un espace métrique complet est compact "
bonjour,
à etnopial
Dans ton contre exemple du post 16/12 à 19h01 tu n'as pas
D'autre part:
L'espace métrique introduit par etniopal n'est pas complet (j'ai donné plus haut l'exemple d'une suite de Cauchy divergente) donc n'est pas un ensemble compact pour cette distance.
Mais ici est la boule fermée de rayon , centre car l'ensemble des réels vérifiant est égal à .
Je sais que est aussi la boule ouverte (de mêmes centre et rayon) mais cela veut dire simplement que la sphère est vide !
Bonsoir !
-------------------
@DOMOREA
Dans mon exemple 2 , l'espace topologique est
et la distance d définit la topologie usuelle .
Les d-fermés sont donc les fermés usuels .
L'espace tout entier est un d-borné et aussi un fermé . Or il n'est pas compact .
___________________
Concernant les suites de Cauchy : tu as écrit (et il me semble conseillé d'oublier )
"L'image d'une suite de Cauchy par une application continue est une suite de Cauchy " .
Je ne parlais pas de la situation particulière de l'exo où , peut-être ....
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