Si tu veux utiliser le théorème de Fubini, fais disparaître la dépendance en k dans le bas de la deuxième somme en te servant de l'indicatrice de {k, k+1, ....}.
N'oublie pas de faire attention aux conditions pour l'utiliser (inégalité triangulaire)

Ce résultat me parait faux.

Supposons :

La somme devient :



Ce qui est différent de :

Aie l'amabilité de donner un énoncé correct s'il te plait.

Je devine donc l'énoncé qui doit être :

Montrer que

Tu pourrais quand même le recopier sans faute, c'est la moindre des choses. C'est très agaçant de devoir aussi avoir à vérifier ton énoncé, et qui plus est, à le corriger.

Nous avons dit au prof qu'il manquait un k, et il nous a dit que non...

Je n'arrive pas à faire disparaître la dépendance en k...

Ben ton prof s'est trompé.

Au lieu de faire disparaitre la dépendance en k essaie d'abord pour faire la démonstration

pour suite de réels positifs).

Pour ce faire essaie en fait de voir combien de fois, pour fixé, le terme

apparaît.

Je t'aide. Je te donne un exemple pour visualiser :

Pour :

Le terme va apparaitre dans la deuxième somme , ,

Pour les la deuxième somme :

Comme l'indice commence à un nombre strictement supérieur à 3, on voit qu'il n'apparaitra plus.

Donc ce terme apparaissant pour   , , , le coefficient devant sera (le étant égal à )

Je te laisse généraliser. Mais fais attention là c'est pour des rééls positifs. Et manipule tes séries correctement : ce ne sont pas des sommes finis !

Bonjour Jygz,


Peut-on représenter simplement cette double sommation dans un tableau à deux entrées ,
doublement illimité,quel élément  mettre alors dans chaque case?


Alain

Oui c'est schématiquement l'idée que je lui propose.

Maintenant effectivement il peut se représenter ça visuellement plus facilement avec le tableau.

Bonjour,


Pourrais-tu nous en dire plus?



Alain

Il peut construire un tableau en mettant k sur les lignes et n sur les colonnes.

Tels que le point soit

Le tableau sera donc nul pour les points tels que .

On aura donc une sorte de tableau infini, nul sous la diagonale.

Et l'idée ici est de sommer d'abord les termes d'une colonne (qui sont en nombre fini).

Puis de sommer tous ces termes.

Bon,


Merci,j'apprends 'en passant' et la symbolique double sommation ma paraît difficile d'emploi,
ici ,une autre relation me paraît utile:



Alain

De rien

Mais après il faut justifier ça rigoureusement, puisqu'on n'a pas le droit de permuter les termes comme bon nous semble.

Il faut donc faire disparaître la dépendance en k de la deuxième sommes pour bien être dans les critères de Fubini.

Pour ce faire j'introduis une suite à double entrée

Definie telle que :



Et sinon.

Ce qui permet de réécrire la double somme de la manière suivante :



À partir de là on peut appliquer Fubini en prenant soin de justifier ça rigoureusement. Ce qui donne :



Considerons :



On fixe à chaque fois et on somme sur

Et comme est nulle pour et sinon, on a l'égalité :



Le fait d'avoir eu l'idée d'intervenir une suite pour enlever la dépendance en sur l'indice de sommation, vient du fait qu'avec le tableau, on voit qu'il est préférable de sommer d'abord les colonnes, puis de sommer ces sommes par la suite. Ce qui permet d'appliquer rigoureusement Fubini, et ainsi d'arriver au résultat.

Merci,


Cela reste quand même pour moi difficile; les séries infinies demandant des précautions particulières dans les calculs,




Alain

Si H = { (k,n) ² | 0 < k n } on définit u : (k,n) 2ka(n)/n(n+1) de H vers   .

..u est  sommable car pour toute  famille de réels 0 , on peut "sommer par paquets" .
On a en effet { 2|a(n)|/n(n+1) | 0 < k n } = |a(n)| pour tout n > 0 et on suppose que |a| < +

  ..maintenant qu'on sait que u est sommable on invoque Fubini qui dit que

  1.pour tout n , la famille { u(n,k) | k n} est sommable et aussi que   {_kn u(n,k) | k n} est sommable . Soit s sa somme  .

   2.pour tout k , la famille { u(n,k) | k n} est sommable ( c'est d'ailleurs clair et sa somme est2a(n) ) et aussi que la famille { 2a(n) | n *} est sommable (  rien de nouveau ) mais on a aussi 2a  = s . Ce qui est ce qui est demandé .