Attention, ce qui suit ne doit pas être pris pour une solution mais
plutôt comme discussion.

a et b)

lim(n->oo) ln(n) = oo
alors que -1 <= sin(n) <= 1 quel que soit n

Donc lim(n->oo) [ln(n) + sin(n)] = oo
et la suite de terme général [ln(n) + sin(n)] diverge.
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c)
Les développements en série entière de ln(x) ne sont valables que sur
un certain interval de x.

f(x) = ln(x)
f '(x) = 1/x
f ''(x) = -1/x²
f '''(x) = 2/x³
f ''''(x) = -6/x^4
...
f^n(x) = (-1)^(n-1).(x-1)^n . (n-1)!

Développement de Taylor autour de 1.
f(1) = 0
f^n(1) = (-1)^(n-1) . (n-1)!

Développement de ln(x) autour de 1 est: Somme de n = 1 à oo de (-1)^(n-1) . [(x-1)^n]/n

Mais il n'est valable que pour x dans [0 ; 2]

Si on veut un autre interval, il faut faire un autre développement.
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Un développement de sin(x) en série de Mac-Laurin est sans difficulté,
on a:

sin(x) = Somme de n = 1 à oo de (-1)^(n-1) [x^(2n-1) / (2n-1)!]
Il est lui valable quel que soit la valeur de x.
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Le développement en serie entière de lnx+sinx n'est évidemment
valable que dans l'intervalle de validité de celui de ln(x).
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Sans relecture, ni vérification.    

SAlut et merci JP
Comment trouver le rayon de convergence de la serie?