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suites

Posté par
robby3 03-12-05 à 18:40

salut à tous,j'ais un gros soucispour un exercice sur les suites:
U(0)>0,quelquesoit n1, U(n)=(n+U(n-1))

1.montrer que pour tout entier n, U(n)n.
2.montrte que pour tout x appartenant à R+,n(1/2)(1+x)
3.Ecrire en Maple une procedure ayant pour nom suite pour donnée un entier n qui calcule et affiche le terme d'indice n de la suite lorsque U(0)=1.

pour les deux premieres questions,il s'agit d'une recurrence(ce qui parait assez evident) mais je bloque toujours au niveau de l'heredité,je ne vois pas la relation avec l'hypothese de recurrence.
MERCI d'avance de votre aide.

Posté par
robby3re:suites 03-12-05 à 18:41

attention de ne pas lire U de n ni U de o mais U indice n ou U indice 0.MERCI

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 04-12-05 à 06:11

Bonjour,

1. n'est pas une récurrence mais une trivialité.
U_n=\sqrt{n+U_{n-1}}
Or U_{n-1} est positif
Donc n+U_{n-1}\ge n
Par croissance de la fonction racine carrée, il vient :
\fbox{U_n\ge\sqrt{n}}

2. n'est pas une récurrence mais une autre trivialité, découlant des identités remarquables.
D'abord, l'énoncé est faux, avec n d'un côté et x de l'autre.
Pour x positif :
\sqrt{x}\le\frac{1}{2}(1+x)
\Leftrightarrow x\le\frac{1}{4}(1+x)^2
\Leftrightarrow 0\le\frac{(1-x)^2}{4}

C'est de niveau Seconde.

Nicolas

Posté par
robby3re : suites 04-12-05 à 13:32

salut Nicolas_75,merci de ta reponse mais qu'est ce que j'ais honte,surtout pour la deuxieme question,j'ais tellement l'habitude de faire de truc dure que j'en oublie la simplicité.
Désolé de t'avoir deranger pour cette formalité.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 04-12-05 à 15:59

Tu ne m'as pas du tout dérangé.
Il ne faut surtout pas avoir honte.
Ne te laisse pas "déstabiliser" par certains énoncés : les réponses à des questions un peu compliquées sont quelquefois... simples !

Nicolas

Posté par
robby3re : suites 05-12-05 à 20:51

merci beaucoup Nicolas_75,mais decidement j'ais beaucoup de mal avec cette exercice:aprés avoir demontrer que x(1/2)(1+x),il faut en deduire que pour tout entier n,Unn+(U0/2^n) puis que la suite (Un-1)/n^2  n>1 (ou egale) converge vers 0.

je ne vois vraiment pas le rapport avec ce qui precede,si quelqu'un pourrait juste me mettre sur la voie sans me donner directement la reponse ce serait vachement sympa.Merci d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 06-12-05 à 02:59

a) Quel est le lien avec ce qui précède ? Il suffit d'appliquer la relation trouvée en 2. à la seule expression de l'énoncé avec une racine, à savoir la définition de U(n), pour démontrer le résulat voulu par récurrence.

Supposons que U_{n-1}\le (n-1)+\frac{U_0}{2^{n-1}}
et montrons que U_{n}\le n+\frac{U_0}{2^{n}}

U_n=\sqrt{n+U_{n-1}}\le\frac{1+n+U_{n-1}}{2}\le\frac{1+n+n-1+\frac{U_0}{2^{n-1}}}{2}\le ...

b) Tu sais alors que :
\sqrt{n-1}\le U_{n-1}\le (n-1)+\frac{U_0}{2^{n-1}}
c'est-à-dire en divisant par n^2 :
\frac{\sqrt{n-1}}{n^2}\le\frac{U_{n-1}}{n^2}\le\frac{n-1}{n^2}+\frac{U_0}{n^2.2^{n-1}}
et on te demande d'en déduire que \frac{U_{n-1}}{n^2}\to 0
et tu ne vois pas comment faire ? (gendarmes)

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
robby3re : suites 06-12-05 à 22:56

salut et encore merci à Nicolas_75,cet exercice est trés basique mais je me bloque tout seul.Enfin bon,j'ais reussi à faire la suitemais je bloque de nouveau sur ce qui me paraitb etre un detail:j'ais montrer qu'en l'infini,Un est equivalent à n,j'ais demontrer que un-n était convergente vers 0(grace à la quantité conjugué).
Ensuite,j'ais calculer la limite de n-(n-1) et il faut que je calcule la limite de Un - Un-1.
il faut ensuite justifié qu'il existe un rang N0 tel que Un(Un-1)-(1/2).
Montrer ensuite que Un+1-Un est du signe de 1+Un-Un-1.
Voila,en fait,pour calculer la limite j'ais fait la quantité conjugué mais ca me donne rien de bon ou alors je sais pas quoi en faire.
Pouvez vous encore un fois m'aider?
Je vous en remerci d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 07-12-05 à 02:57

Je refais les questions que tu as déjà réussies pour m'approprier la suite.

Montrer que Un est équivalent à Vn

\frac{U_n}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+\sqrt{(n-1)+U_{n-2}}}}{\sqrt{n}}=\sqrt{1+\frac{\sqrt{(n-1)+U_{n-2}}}{n}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{n-1}{n^2}+\frac{U_{n-2}}{n^2}}}\to 1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 07-12-05 à 03:02

Démontrer que Un-Vn tend vers 0

Là, je ne suis pas du tout convaincu.
Pour moi,
U_n-\sqrt{n}=\sqrt{n+U_{n-1}}-\sqrt{n}=\frac{U_{n-1}}{\sqrt{n+U_{n-1}}+\sqrt{n}}=\frac{U_{n-1}/\sqrt{n}}{\sqrt{1+U_{n-1}/n}+1}\to \frac{1}{2}

Mon tableur préféré semble le confirmer.

Qu'en penses-tu ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 07-12-05 à 03:04

Limite de V(n) - V(n-1)

En passant par la quantité conjuguée, on montre que :
\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\to 0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 07-12-05 à 03:15

Limite de U(n)-U(n-1)

U_n-U_{n-1}=(U_n-\sqrt{n})+(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})-(U_{n-1}-\sqrt{n-1})\to\frac{1}{2}+0-\frac{1}{2}=0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 07-12-05 à 03:32

Montrer qu'il existe un rang N0 tel que Un >= (Un-1)-(1/2)

U_n-U_{n-1}\to 0
Donc il existe un rang N_0 au-delà duquel U_n-U_{n-1}\ge -\frac{1}{2}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 07-12-05 à 03:34

Montrer que Un+1-Un est du signe de 1+Un-Un-1

C'est immédiat, avec la quantité conjuguée.

Posté par
robby3re:suites 07-12-05 à 17:19

salut et merci vraiment un grand merci à Nicolas_75,qui m'a vraiment beaucoup aidé sur ce sujet.Je lui en suis trés reconnaissant.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : suites 08-12-05 à 08:04

Je t'en prie.


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