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Niveau Licence Maths 1e ann
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Suites dans Rn

Posté par
sief 05-12-17 à 00:16

Bonjour,

La topologie c'est nouveau pour moi, j'aimerais bien que vous m'aidiez pour résoudre cet exercice.
Je vous remercie d'avance.

Soient  a\ge 0  et  b\ge 0, {{\left( {{x}_{k}} \right)}_{k}} et {{\left( {{y}_{k}} \right)}_{k}} deux suites dans {{\mathbb{R}}^{n}} tels que :

\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}-{{y}_{k}}\parallel =a
\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}+{{y}_{k}}\parallel =b

Pour quelles valeurs a et b, peut-on déduire qu'il existe des limites pour :

\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}\parallel  et  \underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{y}_{k}}\parallel

Posté par
etniopalre : Suites dans Rn 05-12-17 à 00:26

Quelle est la norme ||.||  ?

Posté par
Razesre : Suites dans Rn 05-12-17 à 01:10

Bonsoir,

Inégalité triangulaire? Non?

Posté par
siefre : Suites dans Rn 05-12-17 à 01:27

oui c'est la norme euclidienne sur {{\mathbb{R}}^{n}}

Posté par
siefre : Suites dans Rn 05-12-17 à 01:29

Inégalité triangulaire  dans le cas : a=0 et b=0
mais je ne suis pas sur

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 05-12-17 à 01:38

Bonsoir
je serai très tenté de dire que x_k + y_k et x_k - y_k sont les deux diagonales d'un parallélogramme, donc qu'il faut se rappeler les relations dans ce quadrilatère.
Mais est-ce valable avec une norme quelconque, le parallélogramme ayant un petit goût hilbertien assez prononcé ?

En tout état de cause, le cas a = 0 et b \geq 0 (resp. a \geq 0 et b = 0) est assez facile à traiter et :

\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}\parallel=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{y}_{k}}\parallel=b/2   (resp. =a/2)

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 05-12-17 à 01:45

sief @ 05-12-2017 à 01:27

oui c'est la norme euclidienne sur {{\mathbb{R}}^{n}}

jsvdb @ 05-12-2017 à 01:38

le parallélogramme ayant un petit goût hilbertien assez prononcé

Eh bien c'est ce que je disais ... y'apuka

\cos \widehat{(x_k;y_k)} = \dfrac{\langle x_k;y_k\rangle}{||x_k||.||y_k||}

Posté par
etniopalre : Suites dans Rn 05-12-17 à 10:25

@ sief  
    L'énoncé de ton exercice est(il bien ce que tu as écrit ?

Si oui ,  je comprends qu'on demande de  chercher   l'ensemble S formé des (a,b)     +²  pour les quels il existe une suite k (xk , yk )   E = n  telle que  la suite     k ( ||(xk|| , ||(yk || , ||(xk - yk||  , |(xk + yk || ) converge  ( vers (s , t , a , b )   +4 )

Posté par
siefre : Suites dans Rn 05-12-17 à 20:54

jsvdb tu es sûr que c'est assez facile à traiter ?
tu peux me montrer ton raisonnement ?

Posté par
siefre : Suites dans Rn 05-12-17 à 20:55

etniopal  oui c'est bien est ce que j'ai écris  

Posté par
carpediemre : Suites dans Rn 05-12-17 à 21:27

salut

je n'écris pas les indices et utilise la notation valeur absolue ...

|x | \le |x + y| + |y| \iff |x| - |y| \le |x + y| et on passe à la limite

|y| \le |x + y| + |x| \iff |y| - |x| \le |x + y| et on passe à la limite


|x | \le |x - y| + |y| \iff |x| - |y| \le |x - y| et on passe à la limite

|y| \le |x - y| + |x| \iff |y| - |x| \le |x - y| et on passe à la limite

on réfléchis ... puis on pense ... mais c'est très insuffisant ...


x - y = \dfrac {a + b} 2 - \dfrac {b - a} 2 \\ \\ x + y = \dfrac {a + b} 2 + \dfrac {b - a} 2

est beaucoup mieux ...

Posté par
siefre : Suites dans Rn 05-12-17 à 22:43

  carpediem les inégalités triangulaires que t'utilises ne sont pas toutes justes à mon avis

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 06-12-17 à 03:39

Dans mon post Suites dans Rn, j'ai montré que si a = 0 ou b = 0 alors il y avait limite des suites ||x_k|| et ||y_k||.

Inversement : soient a \neq 0~et~b \neq 0

Soient x \in \R^n, x\neq 0~et~y = 2x.

On pose pour tout p\in \N:x_{2p}=x, x_{2p+1} = y, y_{2p}=y, y_{2p+1} = x et on a successivement

||x_k-y_k|| = ||x-y||=||x|| constante et convergente vers a = ||x||>0

||x_k + y_k|| = ||x+y||=3||x|| constante et convergente vers b = 3||x||>0

\blue ||x_{2p}|| = ||x||

\blue ||x_{2p+1}|| = ||y|| = 2||x|| donc la suite \blue (||x_n||)_n ne converge pas.

\red ||y_{2p}|| = ||y|| = 2 ||x||

\red ||y_{2p+1}|| = ||x|| donc la suite \red (||y_n||)_n ne converge pas.

Conclusion : réponse au problème :

Citation :
Pour quelles valeurs a et b, peut-on déduire qu'il existe des limites pour : \underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{x}_{k}}\parallel  et  \underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\parallel {{y}_{k}}\parallel

On déduit l'existence de limites pour a=0 ou b=0

NB : on peut répondre au problème avec n'importe quelle norme

Posté par
siefre : Suites dans Rn 06-12-17 à 14:44

Bonjour  jsvdb,

Tu n'as pas montré, mais tu as juste dit que c'est assez facile à montrer
Si cela ne te dérange pas, j'aimerais bien que tu me montres ton raisonnement dans le cas de a=0 ou b=0

merci d'avance  

Posté par
carpediemre : Suites dans Rn 06-12-17 à 16:35

jsvdb montre qu'on ne peut rien conclure ...

je montre que s'il y a convergence alors ||x_n|| converge vers (a + b)/2 et ||y_n|| converge vers (b - a)/2 ... ce me semble-t-il ...

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 06-12-17 à 22:16

sief @ 06-12-2017 à 14:44

raisonnement dans le cas de a=0 ou b=0

Okay je reprends.
a = 0 et b > 0

Il vient que ||x_k - y_k|| tend vers 0 et donc x_k = y_k + \varepsilon_k où la suite \varepsilon tend vers 0.

Vu que l'on travaille avec la norme euclidienne (1) issue d'un p.s., il vient que :

||x_k+y_k||^2 + ||x_k-y_k||^2 = 2(||x_k||^2 + ||y_k||^2) qui est ze identité du parallélogramme.

||x_k+y_k||^2 + ||x_k-y_k||^2 = \underbrace{||y_k + \varepsilon_k||^2}_{\rightarrow ||y_k||^2 } + ||y_k||^2 \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow}\dfrac{b^2}{2}

Donc ||y_k|| \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow}\dfrac{b}{2} et par suite ||x_k|| \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow}\dfrac{b}{2}
___________________________________
(1)
Citation :
NB : on peut répondre au problème avec n'importe quelle norme

C'est faux à priori; seules les normes hilbertiennes possèdent la propriété du parallélogramme.

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 06-12-17 à 23:01

carpediem @ 06-12-2017 à 16:35

je montre que s'il y a convergence alors ||x_n|| converge vers (a + b)/2 et ||y_n|| converge vers (b - a)/2 ... ce me semble-t-il ...

Et je présume qu'en fait, les suites ||x_n|| et ||y_n|| n'ont que deux valeurs d'adhérence : (a + b)/2 et |b - a|/2

Posté par
siefre : Suites dans Rn 06-12-17 à 23:30

bonsoir jsvdb
tu n'as pas oublié le cas a=b=0  qui est aussi facile à traiter avec l'inégalité triangulaire  ?
On trouve alors que les deux suites tendent vers 0

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 07-12-17 à 00:05

C'est amusant, j'avais commencé mon post par dire "regardons rapidement le cas triviallissime a = b = 0" puis j'ai effacé car sauf erreur, ce cas est inclus dans le cas a = 0.
J'en profite pour préciser que le cas b = 0 se traite de façon identique puisque x_k + y_k = x_k - (-y_k)

Posté par
perroquetre : Suites dans Rn 07-12-17 à 11:52

Bonjour à tous.

jsvdb a montré que si a=0 ou b=0, alors, les suites (\|x_n\|) et ((\|y_n\|) sont convergentes dans le cas où la norme de E est préhilbertienne. Voici une démonstration valable pour toute norme.

Je rappelle d'abord que pour tous vecteurs u,v,w de E:

        \Large \left\big| \|u\|-\|v\| \right\big| \ \leq \ \|u-v\| \  \leq \ \|u\|+\|v\|

En appliquant ce résultat pour u=\frac{x_k+y_k}{2} et v=\frac{x_k-y_k}{2}, on obtient que pour tout k:

x

Posté par
perroquetre : Suites dans Rn 07-12-17 à 12:04

On obtient donc, pour tout k:

\Large \left| \|\frac{x_k+y_k}{2}\| - \| \frac{x_k-y_k}{2}\| \right| \leq \|y_k\| \leq \|\frac{x_k+y_k}{2}\|  + \| \frac{x_k-y_k}{2} \|

Si a=0, les termes de droite et de gauche tendent vers \frac{b}{2} et (\|y_k\|) tend vers \frac{b}{2}

Si b=0, les termes de droite et de gauche tendent vers \frac{a}{2} et (\|y_k\|) tend vers \frac{a}{2}

On fait le même type de démonstration pour \|x_k\|

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 07-12-17 à 12:40

Bonjour perroquet.
C'est bien ce que je pensais ici : Suites dans Rn que le cas a.b = 0 pourrait être traité indépendamment de la norme.

En revanche ici : Suites dans Rn j'ai changé d'avis sans vraiment vérifier.

Du coup ceci est bon, y compris la conclusion Suites dans Rn : on peut répondre au problème avec n'importe quelle norme.

Maintenant, il y a une dernière chose à vérifier : pour n'importe quelle norme, si les suites ||x_k||_k et ||y_k||_k converge alors quelle est la limite nécessaire ?
Probablement pas simple.

Posté par
etniopalre : Suites dans Rn 07-12-17 à 20:44

  
     Soient  x et y deux  suites numériques (càd à valeurs dans   ) telles que les suites |x - y| et |x  + y| convergent (respectivement vers a et b)

Supposons  a > 0 et b > 0 et soit r   ]0 , Min(a,b)[ .
Il existe donc un entier N au moins tel que   pour n > N on ait   |x(n) - y(n)| - a| < r et  ||x(n) + y(n)| - b| < r .
Si n > N  on a donc  a - r  <    |x(n) - y(n)|  < a +  r  et  b - r <| x(n) + y(n)|   < b +  r  .
Comme a - r  et b - r sont > 0 on a :  |x(n) - y(n)|  < a +  r  et   | x(n) + y(n)|   < b +  r   et  donc      -(a + r) < x(n) - y(n)  < a +  r  et  -(b + r) < x(n) + y(n)  < b  +  r
d'où : |2x(n) - (a + b)| < 2r et |2y(n) - (a + b)| < 2r

Ceci montre que les suites x et y  convergent toutes les 2 vers (a + b)/2

Lorsque  par exemple  a = 0 ,   la suite   x - y converge vers 0  et x(n) + y(n) = s(n)(b + v(n))  où s(n) {-1 , 0 , +1} et v 0 .
Donc    2y(n) =  s(n)(b + v(n))  - ( x(n)  - y(n))  +    et |y(n)| b/2 .

Bref  la convergence des suites  |x - y| et  |x + y| implique  toujours celle de |x| et |y| et lim(|x|) =  lim(|y|) = [ im(|x - y|)  + lim(x + y|)]/2 .

On doit pouvoir généraliser aux d .

Sauf erreur



Posté par
carpediemre : Suites dans Rn 07-12-17 à 21:05

Citation :
Ceci montre que les suites x et y  convergent toutes les 2 vers (a + b)/2
donc la norme de leur différence tend vers 0 ... qui n'est pas toujours a ...

et la norme de leur somme ne converge pas vers b ...

Posté par
etniopalre : Suites dans Rn 08-12-17 à 00:11

Je n'ai pas dit  que " les suites x et y  convergent toutes les 2 vers (a + b)/2 " mais  que
   " les suites  |x| et  |y|  convergent toutes les 2 vers (a + b)/2 "

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 08-12-17 à 00:18

Citation :
On doit pouvoir généraliser aux \R^d .

Bah ça je suis pas sûr : Suites dans Rn ... en fait je suis même persuadé du contraire

Posté par
siefre : Suites dans Rn 09-12-17 à 18:46

le théorème de Bolzano-Weierstrass est valable dans  {{\mathbb{R}}^{d}}  non ?

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 09-12-17 à 18:48

Oui, il est valable dans tout EV normé de dimension finie.

Posté par
siefre : Suites dans Rn 09-12-17 à 19:35

Peut-on extraire des suites dans  {{\mathbb{R}}^{d}}

Posté par
jsvdbre : Suites dans Rn 09-12-17 à 21:29

\R^d n'est pas compact, mais de toute suite bornée de ^\R^d, on peut extraire une sous-suite convergente.

Posté par
siefre : Suites dans Rn 10-12-17 à 18:52


Bonsoir jsvdb, et merci pour la réponse .

J'ai  d'autre questions, tu as choisi les suites extraites  \left( {{x}_{2p}} \right)$  et
\left( {{x}_{2p+1}} \right)   constantes c'est bien cela ?

Peut-on choisir par exemple   \left( {{x}_{2p}} \right)  et   \left( {{x}_{6p}} \right)   comme suites extraites ?

Posté par
carpediemre : Suites dans Rn 10-12-17 à 19:14

la deuxième est incluse dans la première puisque 6p = 2(3p) ...

Posté par
siefre : Suites dans Rn 10-12-17 à 19:53

\left( {{x}_{2p}} \right)  et  \left( {{x}_{3p}} \right)   alors


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