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Niveau Licence Maths 1e ann
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Suites de Cauchy

Posté par
Tiantio
29-03-21 à 18:27

Bonjour à toutes et à tous !

Exo : Montrer que Un = (2 + (-1)^n)/n est de Cauchy.

Voilà ce que j'aie fait : Un est de Cauchy équivaut à pour tout epsilon, il existe N € IN, pour tous p,q >= N  |Up -Uq| <= epsilon.

J'ai pris |U2n - U2n+1 | = (4n+3)/[2n(2n+1)] et après je ne sais plus quoi faire.


Merci pour vos conseils

Posté par
carpediem
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 18:30

salut

ce n'est pas les rangs 2n et 2n + 1 qu'il faut prendre mais les rangs p et q et calculer exactement u_p - u_q

et espérer qu'il existe un rang n tel que si p et q sont supérieurs à n alors cette différence (en valeur absolue) est inférieure à epsilon donné auparavant ...

Posté par
Tiantio
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 18:36

Ah d'accord, merci pour votre conseil
Je vais essayer tt de suite.

Posté par
Tiantio
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 18:54

Pour (p,q) € IN² avec p<=q, on a :

|Up-Uq| = |(3q-p)/(p.q)| (p et q pairs)
Comme 0<=3p-q<=3p, on a |Up-Uq| = 3/p.
Pour epsilon>0 et N = E(3/epsilon) +1 . Pour tout q>=p>=N, on a 3/p <= epsilon et par conséquent |Up-Uq| <= epsilon.
(Je fais pareil avec les autres cas ie p et q impairs, p pair et q impair et inversement).

Posté par
Tiantio
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 18:55

je me suis trompé, c'est 0<=3q-p<=3q

Posté par
Ulmiere
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 19:19

Correct, mais il n'y a pas besoin de se fatiguer avec la parité parce que si q\geqslant p, l'inégalité triangulaire te sauve les miches

|u_q-u_p| = \left\lvert\dfrac{2(p-q) + (-1)^pq - (-1)^qp}{pq}\right\rvert \leqslant \dfrac{2|q-p| + p + q}{pq} = \dfrac{3}{p} - \dfrac1q \leqslant \dfrac{3}{p}

Tu peux effectivement prendre p plus grand que \left\lceil\dfrac{3}{\varepsilon}\right\rceil sans considération de parité ni de p ni de q

Posté par
Ulmiere
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 19:20

Après la méthode rapide, c'est de constater que |u_n|\geqslant \dfrac{3}{n} tend vers 0 donc la suite est convergente, donc de Cauchy

Posté par
Ulmiere
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 19:21

|u_n|\leqslant, désolé du triple post

Posté par
Tiantio
re : Suites de Cauchy 29-03-21 à 19:27

D'accord, merci bcp pour vos conseils



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