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Suites périodiques

Posté par
Jawad0610 10-03-20 à 14:06

Bonjour à tous ,

Voici un de mes exercices:

"Soit p un entier naturel strictement supérieur à 1 et soit a = 2cos(\frac{2\pi}{p}).  "

1) Calculer les racines z et \bar{z} de l'équation z2 - az + 1 = 0

2) Déterminer les suites solutions de l'équation de récurrence: n, Un+2 = aUn+1 - Un

3) Montrer que les suites de la question 2) sont toutes périodiques de périodes p.

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 14:06


Voici ce que j'ai pour la question 1:

= a2 - 4

Pour déterminer le signe de :

Vu que p > 1, on a:

\frac{2\pi}{p} < 2\pi

cos^2(\frac{2\pi}{p}) < 1

4cos^2(\frac{2\pi}{p}) < 4

On a donc < 0 et deux racines complexes.

En appliquant les formules j'ai:

z = \frac{a - i \sqrt{4 - a}}{2}

\bar{z} = \frac{a + i \sqrt{4 - a}}{2}

Est-ce bien correct?

Posté par
lionel52re : Suites périodiques 10-03-20 à 14:09

C'est 4-a^2 dans la racine. Et 4-a^2 est simplifiable

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 14:11

4-a2 = 4 - 4cos2(2pi/p) = 4(1-cos2(2pi/p))

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 14:12

J'ai fait une faute de frappe, pour le a^2 dans la racine, merci pour la remarque.

Posté par
verdurinre : Suites périodiques 10-03-20 à 14:14

Bonjour,
on ne peut pas conclure de \frac{2\pi}{p} < 2\pi que \cos^2(\frac{2\pi}{p}) < 1.
Tu peux regarder ce qui se passe pour p=2.

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 14:18

Pour p = 2, on a :

cos2(pi) = 1

On a donc:

cos^2(\frac{2\pi}{p}) \le 1

Le problème qui apparaît maitenant c'est que si je revient à l'expression du déterminant:

4cos^2(\frac{2\pi}{p}) \le 4

On peut avoir = 0

Posté par
verdurinre : Suites périodiques 10-03-20 à 14:31

Oui, et c'est gênant pour la suite.

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 14:41

Si j'ai cette inégalité:

4cos^2(\frac{2\pi}{p}) - 4 \le 0

Comment puis-je montrer que le déterminant est négatif? ^^

Sachant que c'est ce qu'il faut montrer car il est demandé de trouver les racines complexes.

Posté par
verdurinre : Suites périodiques 10-03-20 à 15:04

Il faut supposer p strictement supérieur à 2.

Pour la suite utilise l'indication de lionel52 : 1-cos2x=. . .

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 15:18

Y'a-t-il donc une erreur dans l'énoncé?

Car, dans l'énoncé, il est indiqué que

Jawad0610 @ 10-03-2020 à 14:06



"p un entier naturel strictement supérieur à 1


Ce qui impliquerait donc que p peut être égale à 2. Ce qui nous bloquerait pour démontrer que est négatif.

Pour la suite, on a donc:

z = \frac{a - i\sqrt{4sin^2(\frac{2\pi}{p})}}{2}

\bar{z}  =  \frac{a + i\sqrt{4sin^2(\frac{2\pi}{p})}}{2}

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 15:57

Je peux aussi simplifier mes solutions ainsi:

z= cos(\frac{2\pi}{p}) - \frac{i\sqrt{4sin(\frac{2\pi}{p})}}{2}

\bar{z} = cos(\frac{2\pi}{p}) + \frac{i\sqrt{4sin(\frac{2\pi}{p})}}{2}

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 16:01

z= cos(\frac{2\pi}{p}) - i\sqrt{sin(\frac{2\pi}{p})}}

  \bar{z}  = cos(\frac{2\pi}{p}) + i\sqrt{sin(\frac{2\pi}{p})}}

Posté par
lionel52re : Suites périodiques 10-03-20 à 16:05

Un peu de sérieux clique sur le bouton aperçu et relis toi  avant de poster

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 16:08

Oups mes excuses, j'ai oublié les carrés sur sin(2pi/p):

z= cos(\frac{2\pi}{p}) - i\sqrt{sin^2(\frac{2\pi}{p})}}

\bar{z} = cos(\frac{2\pi}{p}) + i\sqrt{sin^2(\frac{2\pi}{p})}}

Posté par
lionel52re : Suites périodiques 10-03-20 à 16:09

et donc ? .... suite? allez un peu d'autonomie

Posté par
lafol Moderateurre : Suites périodiques 10-03-20 à 17:59

Bonjour
j'écris x pour ce qui est dans le cosinus

z²-2cos x z + 1 = z² - 2 cos x z + cos² x + sin² x = (z-cos x)² + sin²x = (z-cos x-i sin x)(z- cos x + i sin x) : pas besoin de delta pour trouver les racines (éventuellement confondues si sin x = 0)

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 18:56

Merci lafol

Je peux encore simplifier mes solutions:

z = cos(\frac{2\pi}{p}) - isin(\frac{2\pi}{p})

\bar{z}  = cos(\frac{2\pi}{p}) + isin(\frac{2\pi}{p})

Pour la question 2:

On reconnaît une équation de récurrence linéaire d'ordre 2.

L'équation homogène associée est:

Un+2 - aUn+1 + Un = 0

Le polynôme caractéristique est:

z^2 - az + 1 = 0

On a déjà les deux racines complexes.

z = e^{-i(\frac{2\pi}{p})}

\bar{z}  = e^{i(\frac{2\pi}{p})}

En appliquant la formule pour les équations de récurrence linéaire d'ordre 2, on a:

U_n = \lambda1^ncos(n\frac{2\pi}{p}) + \mu 1^nsin(n\frac{2\pi}{p})

Avec et réels.

Est-ce bien cela?

Posté par
lafol Moderateurre : Suites périodiques 10-03-20 à 19:53

à condition qu'on ait deux racines distinctes, oui

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 19:56

Si p >1, n'avons-nous pas z et zbarre distinctes ?

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 19:59

Pour la question 3, il faut donc que je prouve que:

Un+p = Un

Je vais travailler à le démontrer.

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 20:41

Voilà ce que j'ai:

U_{n+p} = \lambda1^{n+p}cos((n+p)\frac{2\pi}{p}) + \mu1^{n+p}sin((n+p)\frac{2\pi}{p})

U_{n+p} = \lambda1^{n+p}cos(\frac{2\pi n}{p} + 2\pi) + \mu1^{n+p}sin(\frac{2\pi n}{p} + 2\pi)

1n+p = 1n

Cos et sin sont 2pi périodiques.

On a donc:

U_{n+p} = \lambda1^ncos(\frac{2\pi n}{p}) + \mu1^nsin(\frac{2\pi n}{p}) = U_n

Ainsi, Un+p = Un

Est-ce bien correct ?

Posté par
verdurinre : Suites périodiques 10-03-20 à 21:07

Je ne vois pas vraiment pourquoi tu écris une multiplication par 1n.
C'est pas faux mais assez inutile.

Et si p=2 on a vu qu'il n'y avait une racine double réelle et donc que z=\bar{z}.
Dans ce cas la suite n'est, en général, pas 2-périodique.

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 21:09

Il y a donc une erreur dans l'énoncé pour p. Je vais signaler cela.

À part cela, mon raisonnement est-il correct?

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 21:43

En enlevant le 1n, on a:

U_n = \lambda cos(\frac{n2\pi}{p}) + \mu sin(\frac{n2\pi}{p})

U_{n+p} = \lambda cos(\frac{(n+p)2\pi}{p}) + \mu sin(\frac{(n+p)2\pi}{p})

U_{n+p} = \lambda cos(\frac{2n\pi }{p} + 2\pi) + \mu sin(\frac{2n\pi }{p} + 2\pi)

U_{n+p} = \lambda cos(\frac{2n\pi}{p}) + \mu sin(\frac{2n\pi}{p}) = U_n

Est-ce mieux?

Posté par
verdurinre : Suites périodiques 10-03-20 à 21:54

Il y a bien une erreur dans l'énoncé.

En ce qui concerne ton « raisonnement » je ne vois pas où, dans l'énoncé que tu donnas, il est écrit que (U_n)_{n\in\N} est une suite à valeurs réelles.

On a U_n=\lambda \bigl(\mathbf{e}^{\frac{2i\pi}{p}}\bigr)^n+\mu \bigl(\mathbf{e}^{\frac{-2i\pi}{p}}\bigr)^n

Et les suites \Bigl(\bigl(\mathbf{e}^{\frac{2i\pi}{p}}\bigr)^n\Bigr)_{n\in\N} et \Bigl(\bigl(\mathbf{e}^{\frac{-2i\pi}{p}}\bigr)^n\Bigr)_{n\in\N} sont p-périodiques.

PS :
Finalement je viens de comprendre le 1^n.
Tu appliques une formule du cours pour U_n.
Dans ce cas oui, ton raisonnement est correct, quoique pas très bien rédigé.
Je laisse quand même ce que j'avais écrit.
Il n'est pas utile que tu le reproduises, mais j'espère que tu le comprendras.

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 10-03-20 à 22:38

Merci pour votre réponse.

Il est vrai que j'ai utilisé la formule pour une suite à valeur réelle, alors que l'on nous dit pas que Un est à valeur réelle. Merci pour votre remarque.

Je dois donc utiliser, à la place, la formule suivante (pour les suites à valeurs dans 2:

U_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n

Je vais aussi attendre un retour de ma professeure concernant cette erreur d'énoncé.

Posté par
verdurinre : Suites périodiques 11-03-20 à 21:25

Tu peux toujours dire : « si p3 alors etc »
Et donner un exemple montrant que la suite n'est pas forcément périodique si p=2.

Posté par
Jawad0610re : Suites périodiques 11-03-20 à 22:18

Ma professeur vient de confirmer qu'il y a bien une erreur et qu'il faut prendre p 3.

Un grand merci à toutes les personnes qui ont participé à cette discussion.


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