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Suites - récurrence - sommes

Posté par
alracia
14-09-22 à 17:14

Bonjour à vous, c'est la première fois que j'écris sur un forum car je suis bloquée sur un DM. Merci beaucoup si vous m'aidez à comprendre.

Voici l'énoncé ;

Soient (un) et (vn) deux suites définies sur N par :
u0 = 3
v0 = -2
un+1 = 3un + 2vn - 2,5
vn+1 = 2un + 3vn + 2,5

1.On admet que pour tout n appartenant à N*, un+1>un.
Démontrer par récurrence que pour tout n appartenant à N*, vn+1>vn.

Je vous joins ici l'exercice en entier puisqu'il est assez long.


Suites - récurrence - sommes

Je n'ai eu aucun problème avec les questions 1. ; 2. a) et b) mais je ne comprends pas du tout la c)
mes résultats à 2. a) et b) :
a) an = un + vn donc an+1 = un+1 + vn+1 = 3un + 2vn -2.5 + 2un + 3vn + 2.5
donc on a : an+1 = 5(un+vn) alors an+1 = an*5 avec q = 0 et a0 = 1
b) bn = un - vn donc bn+1 = un+1 - vn+1 = 3un + 2vn - 2.5 - (2un + 3vn + 2.5) = un - vn  - 5 donc bn+1 = bn - 5
b0 = 5 et r = -5

ensuite pour la c) je ne comprends pas, ainsi que pour toute la question 3

Merci d'avance à vous

**malou edit > énoncé réorganisé **

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 17:28

Bonjour

si tu ajoutes an et bn...que trouves-tu ?

et si tu les soustrais

Posté par
Leile
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 17:31

bonjour,

exprime   an en fonction de n   et  bn en fonction de n

ensuite,   que vaut    an + bn ?

Posté par
Leile
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 17:32

arhhh   bonjour malou,
je n'avais pas vu ta réponse. Désolée.

Posté par
Leile
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 17:33

nb  :
"donc on a : an+1 = 5(un+vn) alors an+1 = an*5 avec q = 0 et a0 = 1"

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 17:35

pas de souci Leile, je te passe bien volontiers la main

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 19:32

Désolée en effet pour an+1 j'ai trouvé q = 5, j'ai mal rédigé
Ensuite, si on fait an + bn, on trouve 2un n'est ce pas ? mais que faire avec
(et merci à vous pour vos réponses rapides)

Posté par
Leile
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 19:40

an + bn  : on trouve 2 Un =  quoi ?

Posté par
Leile
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 19:40

an + bn  : on trouve 2 Un =  quoi ?

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 19:45

je ne vois vraiment pas... a-t-on le droit d'utiliser un = 0, 5 × 5^n + 2, 5 − 2, 5n ? mais je ne pense pas que ce soit cela

Posté par
Leile
re : Suites - récurrence - sommes 14-09-22 à 19:53

Leile @ 14-09-2022 à 17:31


exprime   an en fonction de n   et  bn en fonction de n
ensuite,   que vaut    an + bn ?


as tu exprimé an en fonction de n ?
an+1 = 5an
suite géométrique de raison q=5   et de 1er terme a0=1
tu peux exprimer an en fonction de n, n'est ce pas ?

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 16-09-22 à 15:53

c'est bon j'ai réussi à trouver pour la question 2. c) !
par contre je ne comprends pas la 3. b)...

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 16-09-22 à 17:24

si je me souviens bien...un tu sais l'exprimer en fonction de an et bn

u0=1/2(a0+b0)
et ça pour tous les termes....

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 10:37

oui on a un=1/2(an+bn) donc est-ce que Sn = 1/2(a0+b0)+1/2(an+bn) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 13:09

euh et où sont tous les autres termes de ta somme ?

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 13:18

Sn = (n+1) (1/2(a0+b0)+1/2(an+bn))/2 ?

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 13:25

peux-tu réfléchir s'il te plaît...

écris ta somme
regroupe les ai et les bi séparément
et relis les résultats trouvés dans ton exercice pour en faire la somme séparément

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 14:21

merci de penser que je ne réfléchis pas...
écrire quelle somme? Sn? je ne comprends vraiment pas, pourtant je réfléchis, croyez le ou non.
Est ce qu'on a le droit de dire que Sn = S(1/2a)+S(1/2b)? si oui que faire avec ça?
si je suis là c'est parce que je ne comprends pas et j'ai besoin d'aide, ce n'est pas par flemme de faire les choses moi même!

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 14:41

mais il suffit de l'écrire...
S_n=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n=1/2(a_0+b_0)+1/2(a_1+b_1)+1/2(a_2+b_2)+\dots+1/2(a_n+b_n)=\dots
et comme dit plus haut
ensuite tu regroupes

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 14:55

je ne vois vraiment pas du tout quoi faire avec cela! que faut-il regrouper, faire quelque chose du genre Sn=1/2(a0+...) + 1/2(b0+...)? je suis désolée mais je suis vraiment perdue

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 15:00

oui

S_n=1/2(a_0+a_1+a_2+\dots+a_n)+1/2(b_0+b_1+b_2+\dots+b_n)

mais je sais que  (a_n) est une suite ....donc je sais en calculer la somme des termes
mais je sais que (b_n) est une suite ...donc je sais en calculer la somme des termes
et je remplace

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 15:09

mais je sais que  (an) est une suite géométrique donc je sais en calculer la somme des termes
mais je sais que (bn) est une suite arithmetique donc je sais en calculer la somme des termes
Sn = 1/2((1-q^n+1)/(1-q)) + 1/2((n(n+1))/2) ? (q=5)

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 15:17

j'ai un doute pour ta somme des b_n
mais le principe est là

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 15:20

pour bn je ne sais pas quelle formule utiliser entre S = nombre de termes * (premier terme + dernier terme)/2 ou alors ((n(n+1))/2

La formule pour an est elle la bonne?

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 15:24

alracia @ 18-09-2022 à 15:20

pour bn je ne sais pas quelle formule utiliser entre S = nombre de termes * (premier terme + dernier terme)/2 qui est le cas général ou alors ((n(n+1))/2 qui n'est valable que pour la somme des premiers entiers naturels, et c'est donc un cas particulier que tu ne peux pas employer ici

La formule pour an est elle la bonne? oui

Tout ce qui concerne les suites arithmétiques
Tout ce qui concerne les suites géométriques

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 15:32

donc, on arrive à Sn = 1/2((1-q^n+1)/(1-q)) + 1/2(n+1(b0+bn)/2)
ou alors au lieu de b0 et bn c'est u0 et un?

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 16:02

alracia @ 18-09-2022 à 15:32

donc, on arrive à Sn = 1/2((1-q^(n+1))/(1-q)) + 1/2(n+1)(b0+bn)/2)
ou alors au lieu de b0 et bn c'est u0 et un?

Posté par
alracia
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 16:07

merci infiniment à vous et désolée d'avoir pris de votre temps ! je ne pensais pas qu'on pouvait mélanger comme ça les suites et maintenant je pense avoir compris
encore merci

Posté par
malou Webmaster
re : Suites - récurrence - sommes 18-09-22 à 16:12

l'essentiel est que tu aies compris
Bonne fin d'après-midi, à une autre fois sur l'



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