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Suites réelles

Posté par
jerome20048 18-05-06 à 19:17

Voila 2 exos où j'ai également des problèmes:

Etudier (Un) telle que U0>0, U1>0 et U(n+1)=Un +U(n-1)


Soient deux réels a et b strictement positifs.
On considère les deux suites (an) et (bn) telles que:
a1=ab ... a(n+1)=an.bn
b1=(a+b)/2 ... b(n+1)=(an+bn)/2

Prouver que (an) et (bn) sont deux suites adjacentes.


merci de m'aider.

Posté par
kaiser Moderateurre : Suites réelles 18-05-06 à 19:59

(Re)bonsoir

Pour le deuxième, regarde ici : Moyenne Arithmético-geometriques

Kaiser

Posté par
jerome20048re : Suites réelles 18-05-06 à 22:16

merci Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suites réelles. 19-05-06 à 12:58

Bonjour;
Pour le premier on pourra remarquer que:
(i) \fbox{\exists n_0\in\mathbb{N}\\u_{n_0}>1} car sinon on aurait \fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\u_n\le1} et comme la suite (u_n) est à termes positifs (récurrence immédiate) on aurait \fbox{\forall n\ge1\\u_{n+1}=sqrt{u_n}+sqrt{u_{n-1}}\ge u_n+u_{n-1}\ge u_n} la suite (u_n) serait donc croissante et comme elle est majorée (par 1) elle convergerait vers un réel positif l tel que l=2sqrt l c'est à dire vers 0 ou 4 or elle ne peut converger vers 0 vu qu'elle est croissante et u_0>0 et ne peut converger vers 4 puisque majorée par 1.
(ii) \fbox{\forall n\ge n_0\\u_n>1} (récurrence facile).
(iii) En posant \fbox{\forall n\ge n_0\\v_n=|u_n-4|} on vérifie facilement que \fbox{\forall n>n_0\\v_{n+1}\le\frac{v_n+v_{n-1}}{3}} et en notant \fbox{M=max(v_{n_0},v_{n_0+1})} et r la racine positive de l'équation du segond degré \fbox{3r^2-r-1=0} il est facile d'établir par récurrence que \fbox{\forall n\ge n_0\\v_n\le Mr^{n-n_0-1}} et comme \fbox{0<r<1} on voit que 3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}u_n=4} (Sauf erreurs)


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