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Niveau Maths sup
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[Sup] Equation, ln & suite

Posté par
gui_tou 29-09-07 à 18:03

Bonjour à tous

Voilà un exercice qui m'embête un peu :

Citation :
On considère l'équation (e_n) : 4$\red x^n=e^x où x réel strictement positif et n \in \mathbb{N} avec n \ge 3.

On définit pour tout entier n supérieur à 3 la fonction f_n par : \forall x \in \mathbb{R}^{*}_+,

4$f_n(x)\,=\,n\ln(x)-x

1. Montrer que (e_n) admet 2 solutions notées x_n et y_n avec 1<x_n<n<y_n en étudiant les variations de f_n sur \mathbb{R}^{*}_+.

2a. Montrer que 4$\forall n\ge3,\;\; n\ln(n)\le y_n


b. On pose 4$\forall t \ge 5, \;\varphi(t)=\ln t +2 \ln(\ln t)-\ln^2(t).   Etudier le signe de \varphi(t) pour t\ge 5.

c. Montrer que : 4$\forall n \ge 5 , \; y_n\le n.\ln^2(t)

d. En déduire que :4$ y_n_{n\to +\infty}\;\; \sim \,n\ln n  , c'est-à-dire 4$\lim_{n\to +\infty} \frac{y_n}{n\ln(n)}=1


1, 2a et 2b faits.

Je bloque à l'étude de \varphi(t), car la dérivée m'embête :

4$\varphi'(t)=\frac{-2\ln^2(t)+\ln(t)+2}{t.\ln(t)}

J'ai essayé avec un changement de variable, mais je ne suis pas très sûr de moi.




Merci à vous

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 18:19

Arf c'est vrai que de loin, l'énoncé est rébarbatif. De près aussi, rassurez-vous.

Posté par
mikayaoure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 18:21

salut guitou

une étude de phi ne donne-t-elle pas phi(t) < 0 pour t>5 ?

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 18:24

Eh bien Mika, je me suis embrouillé dans le changement de variable, pour repasser au ln. Tout devient positif, et je m'emmêle les pinceaux. Et puis comment montrer qu'à partir de 5 (ou un peu moins il me semble), ça marche ?

Je recreuse cette idée alors

Posté par
infophilere : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 18:34

Salut guitou

Exo défi : Solution d'une équation et DL

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 18:39

Intéressant J'aurais peut-être dû faire une recherche

Ca me donne des éléments pour les questions suivantes, mais pour \varphi ?

Cool c'est exactement ma démo Exo défi : Solution d'une équation et DL

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 19:07

Bon a priori, je me serais réconcilié avec le changement de variable

Merci à vous deux Mika et Kévin



Kévin, en guise de remerciement   >>

Posté par
infophilere : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 19:11



[Sup] Equation, ln & suite

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 19:13



Notre nouveau code secret : "La semeuse"

Posté par
infophilere : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 19:16

Mdr

Bon moins drôle je vais faire de l'optique

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 19:19

Le mot 'optique' ne fait désormais plus partie de mon vocabulaire

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 19:35

Arf j'ai besoin de montrer que

4$\fbox{\exp\Big(\frac{1+\sqrt{17}}{4}\Big) \, < \, 5

Sachant qu'aux devoirs les calculettes de sont pas autorisées, y a-t-il un moyen simple de le montrer ?

Merci

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 19:39

Please

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 20:13

Comme justif, je ne veux pas de : 'tout simplement parce que 4$\frac{1+\sqrt{17}}{4}\,<\,\ln 5  



Posté par
simon92re : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 20:22

1+rac(17)<6
1rac(17)<1.5
exp(1.5)>5
On sait jamais, ca peut passer

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 20:26

Merci Simon

Et pour la 2c, tu répondrais quoi ? ^^

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 21:27

Une aide pour la 2c ?

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 21:43

Up

Posté par
gui_toure : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 23:47

Personne, dommage. Vu l'heure c'est compréhensible.

Posté par
infophilere : [Sup] Equation, ln & suite 29-09-07 à 23:48


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