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Sur la connexité
Bonjour,
Une idée sur comment résoudre ceci: Si P est connexe et coupe un ensemble A ainsi que son complémentaire alors il coupe la frontière de A.
Merci d'avance.
bonjour
si A est fermé alors P coupe sa frontière puisque qu'il coupe A et A contient sa frontière dans ce cas.
Si A est un ouvert alors CA (son complémentaire) est fermé et on retombe sur la premier cas.
Soient x 
P
A et y PAc .
J = { t 
0 | x + t.(y - x) PA } est un intervalle de 
+ contenant 0 et ne contenant pas 1 .
Si s = Sup(J) , je pense que z = x + s.(y - x) Fr(A) .
Bonjour !
A etniopal : tu fais comme si on est dans un espace vectoriel normé, ce qui n'est pas indiqué.
Bonsoir !
Oui tu n'as pas mis le mot norme mais tu te crois dans une espace vectoriel pour mélanger les .
De plus, dire que est un intervalle c'est supposer la convexité (que tu confonds avec connexité ?) de
.
Une possibilité :
Si on suppose que ne rencontre pas la frontière.
Alors rencontre
, idem pour l'extérieur de
(intérieur du complémentaire) ce qui contredit la connexité de
.
salut
il me semble que lapointe a raison
le segment [x,y] est l'ensemble des barycentres des points pondérés (x, t) et (y, 1 - t) avec t [0, 1]
...
Bonsoir à tous,
je me mêle à la discussion 
, il me semble que luzak a raison.
L'ensemble P est connexe, pas forcément convexe.
Ceci étant on pourrait sans doute faire un raisonnement du même genre en admettant qu'il est connexe par arc.
effectivement ...
P 
A et P AC sont deux sous-ensembles disjoints de P
s'ils sont tous les deux ouverts ou tous les deux fermés (dans P) ça contredirait la connexité de P ....
salut bon comme je le vois
Si P est connexe et coupe un ensemble A ainsi que son complémentaire alors il coupe la frontière de A
comme je vois la chose rien n'interdit de munir P union A et union le complémentaire de A d'une distance d et de le demontrer avec cela en disant que
on sait que P est connexe par conséquent quelque soit x est dans P et quelque soit y est dans P mais aussi sur la frontiere de A alors il existe z est dans A tel que d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)
alors tous les points possibles w tels que d(x,y)=d(x,w)+d(w,y) sont dans P
et pour ce meme point x et ce meme point y alors il existe un point t est dans le complementaire de A
tel que d(x,t)=d(x,y)+d(y,t)
alors tous les points possibles w tels que d(x,t)=d(x,w)+d(w,y)+d(y,t) sont dans P
si P ne serait pas connexe il existerait des points w qui ne seraient pas forcément dans P dans l'un et l'autre cas
et on ne pourrait pas dire que P coupe le complementaire de A
Bonsoir amethyste,
on peut avoir des topologies qui ne proviennent pas d'une distance.
alors tous les points possibles w tels que d(x,y)=d(x,w)+d(w,y) sont dans P
P est connexe mais n'est pas forcément convexe.
On peut, par exemple prendre un ensemble P en forme de croissant.
oui Verdurin là c'est convexe en plus et on demande pas que ça soit cela forcément
bon... ...bonsoir Verdurin
J'avais lu convexe au lieu de connexe .
Si un ensemble P rencontre A et Ac et ne rencontre pas la frontière de A alors
U = P Int(A) et V = P Int(Ac) sont des ouverts non vides de P et {U , V} est une partition de P .
P n'est alors pas connexe .
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