Salut, on cherche la même chose qu'en dimension finie, on cherche à décomposer l'opérateur sur une base propre (même si elle est infinie).
C'est par exemple essentiel en mécanique quantique, on cherche toujours des bases propres pour les opérateurs (comme l'hamiltonien). On sait que quand on fait une mesure, le système se met sur cette base propre et que si on refait la mesure on trouvera une valeur propre. En mécanique quantique on est sur un espace de Hilbert de dimension infini sur le corps des complexes. Sur une base propre on peut résoudre l'équation de Schrödinger par exemple.

mais il y a d'autres exemples où tout cela est très utile en physique comme les phénomènes vibratoires.

mais quel est le rapport entre décomposer un opérateur est l'écrire sous forme d'une intégrale, et non pas l'intégrale qu'on connaît, c'est une intégrale par rapport à une mesure spectrale qui donne un opérateur!!!!
et de plus je ne comprends pas comment peut on définir une intégrale, quel est le principe, car au début on connaissait les intégrales de Riemann, qui représentaient les surfaces de l'air, ...etc, ensuite la notion d'intégrale de Lebesgue, une intégrale par rapport à une mesure (qui me paraissait déjà difficile), et maintenant je rencontre une intégrale par rapport à une famille spectrale!!!!

ha, on ne doit pas parler de la même chose alors, je ne vois pas ce que des intégrales viennent faire là.
Pour moi le théorème spectral c'est ça : ou ça parle d'endomorphismes décomposés sur des sous espaces propres.

Voir ici :

merci beaucoup, mais, pour le livre " introduction to functional analysis"de Reinhold Meise et Dietmar Vogt, à partir de la page 197, ils le font d'une autre façon, c'est après le chapitre des algèbres de Banach, ils arrivent à écrire tout opérateur normal sous forme d'une intégrale, (un peu spéciale), et ils parlent de calcul fonctionnel, donc le but du théorème spectral est d'arriver au calcul fonctionnel d'un opérateur normal, et non pas à le diagonaliser non?
2)autre question, une intégrale suivant une mesure spectrale, c'est-à-dire une famille de projections orthogonales satisfaisant quelques propriétés, fournit un opérateur si j'ai bien compris, et l'intégrale qu'on connaissait, qui était suivant la mesure de Lebesgue, fournit un scalaire ??

La réponse à ces questions me semble contenue dans la page wikipedia mise en lien.

Mais pour définir cet intégrale, (j'essaye de la comparer avec celle de Riemann), on montre que ça a un sens, des subdivisions, le pas, les points, et on montre que ça ne dépend pas du choix des subdivisions, ni le pas, ni la valeur de la fonction au points choisis, ici on me demande d'accepter cette définition, et que c'est une intégrale!!!