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Sur les suites.
Bonsoir ;
On sait que lorsqu'une suite numérique converge on a
.
On sait aussi que la réciproque est fausse même si la suite est bornée comme c'est le cas par exemple de la suite
.
Cependant il semble qu'il y'ait un cas où ça marche :
Soit continue et la suite
définie par
,on suppose que
.
Montrer qu'alors la suite est convergente.
(sauf erreur bien entendu)
Voila ce que j'ai fait :
f est continue sur un intervalle fermé :
f est borné et atteint ses bornes soit il existe x1 et x2 (dans [0,1]) telle que f(x1)=m, f(x2)=M et pour tout x dans [0,1], m<= f(x)<= M
xn+1=f(xn) est à valeur dans [0,1] car f continue de [0,1] dans [0,1] d'ou m<= xn+1<= M
soit m-xn<= xn+1-xn<=M-xn
or xn+1-xn tend vers 0, donc m-xn et M-xn tende vers la même limite, qui vaut 0.
D'ou xn converge.
?
Tu ne crois pas que tu t'es trompé ?Bonjour,
Je ne vois pas le lien logique ici :
or xn+1-xn tend vers 0, donc m-xn et M-xn tende vers la même limite, qui vaut 0.
Rôôô, on rigole pour le message de stokastik, évidemment que tout le monde peut se tromper, c'est pas le sujet ici ...
C'est toujours un peu vexant, les commentaires lorsqu'on s'est planté, mais à force, on est vacciné!
elhor juste une idée peut etre faut-il utiliser le fait que l'ensemble des valeurs d'adhérence de x_n est connexe?
Bonsoir ;
Oui Cauchy , on peut effectivement montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est un segment .
(voir par exemple 
Est-elle de cauchy? post du 27/11/2005 à 20:38).
Cependant dans notre cas il faut montrer plus : que ce segment est réduit à un point.
Oui je voulais voir si on pouvait s'en servir par l'absurde si on a pas un point on aura un segment et arriver à une contradiction j'y ai pas réfléchi encore.
Bonsoir;
Je crois que j'ai trouvé une preuve qui utilise (comme l'a présenti Cauchy) le fait que l'ensemble des valeurs d'adhérence de est un segment (la démonstration de ce résultat se trouve dans le lien ci-dessus).
Soit une valeur d'adhérence de
et
une application strictement croissante telle que
.
Comme est continue on a
c'est à dire
.
Or (puisque suite extraite de
de limite nulle par hypothèse).
On conclut donc que et ceci pour toute valeur d'adhérence de
.
Si la suite n'était pas convergente ses valeurs d'adhérence formerait un segment
avec
et il existerait au moins un entier
tel que
mais alors on aurait
c'est à dire
et une petite récurrence montrerait qu'alors
pour tout entier
et la suite
serait stationnaire donc convergente d'où l'absurdité
(sauf erreur bien entendu)
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