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Niveau Maths sup
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surjectivité, injectivité complexe

Posté par
damien06
29-12-15 à 15:39

Bonjour tout le monde
je reste bloqué sur la question 3, 4, 5

Soit f la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, f(z)= z²/(z-2i)

1) déterminer l'ensemble de définition D de f
2) a) Déterminer les racines carrées de 8-6i
     b) En déduire tous les antécédents de 1+i par f
3) soit un complexe. Discuter suivant les valeurs de le nombre d'antécédents de par f
4) Déterminer l'image de f(D) de D par  f. La fonction f est elle une application surjective de D dans ?
5) f est elle une application injective de D dans ?

Ce que j'ai fais.

1) soit z et f:z z²/(z-2i)
La fonction f(z) est un quotient, donc le dénominateur ne s'annule pas. z2i donc Df]-;+[/{2i}

2a) soit z a,b et on pose z=a+ib

on a  z²=8-6i(a+ib)²=8-6i
a²-b²+2iab=8-6i
a²-b²=8 et 2ab=-6
a²-b²=8,  a²+b²=|8-6i|=100=10, 2ab=-6
a²=9, b²=1, a,b sont de signes contraires

Les solutions de l'équation sont -+i ou 3-i

2b) déterminer les antécédents 1+i par f revient à résoudre l'équation suivante

1+i= z²/(z-2i) avec z2i
on a 1+i= z²/(z-2i) (1+i)(z-2i)=z²
-z²+iz-2-2i=0
on note le discriminant de l'équation de -z²+iz-2-2i=0 avec =b²-4ac
=i²-4*(-1)*(-2-2i)=-9-8i

soit z a,b et on pose z=a+ib

on a z²=-9-8i(a+ib)²=-9-8i
a²-b²=-9 et 2ab=-8
a²=(-9+145)/2, b²=(145+9)/2 , a,b sont de même signe
a=(-9+145)/2 ou a=-(-9+145)/2, b=(145+9)/2 ou b=-(145+9)/2, ab sont de même signe

les antécédents de 1+i sont (-9+145)/2+(145+9)/2 et -(-9+145)/2-i(145+9)/2

Merci de votre futur aide

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 15:46

bonjour : )

1)

Citation :
Df]-;+[/{2i}
ok,

2)a)
Citation :
Les solutions de l'équation sont -+i ou 3-i
je ne comprends pas,
3 - i ok est une racine carrée, l'autre est son opposé, -3 + i

2)b)
Citation :
1+i= z²/(z-2i) avec z2i
on a 1+i= z²/(z-2i) (1+i)(z-2i)=z²
-z²+iz-2-2i=0
non,
z² - z(1 + i) + 2i(1 + i) = 0 est l'équation à résoudre,

Posté par
damien06
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 16:13

Ah oui pour la 2a) j'ai mal tapé mes solution sont -3+i ou 3-i

pour la 2b

1+i= z²/(z-2i) avec z2i
on a 1+i= z²/(z-2i) (1+i)(z-2i)=z²
-z²+(1+i)z-2-2i=0

on note le discriminant de l'équation de -z²+(1+i)z-2-2i=0 avec =b²-4ac
=(1+i)²-4*(-1)*(-2-2i)
=1+2i-1-8-8i
=-8-6i

soit z a,b et on pose z=a+ib

on a z²=-8-6i(a+ib)²=-8-6i
a²-b²+2iab=-8-6i
a²-b²=-8 et 2ab=-6
a²-b²=-8, a²+b²=|-8-6i|=10 , a et b sont de signes contraires
a²=(-8+10)/2=1, b²=(10-(-8))/2=9,  a et b sont de signes contraires

les antécédents sont 1-3i et -1+3i

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 16:49

Citation :
on a 1+i= z²/(z-2i) (1+i)(z-2i)=z²
-z²+(1+i)z-2-2i=0
C'est encore faux !

L'équation, déjà écrite est z² - z(1 + i) + 2i(1 + i) = 0 ou -z² + z(1 + i) - 2i(1 + i)
ou (si tu insistes à développer) z² - z(1 + i) - 2 + 2i = 0 ou -z² + z(1 + i) + 2 - 2i

Citation :
on note le discriminant de l'équation de -z²+(1+i)z-2-2i=0 avec =b²-4ac
Le discriminant d'un polynôme pas d'une équation...

Delta = (1 + i)^2 - 8i(1 + i) = 2i - 8i + 8 = 8 - 6i (on retrouve un lien avec la question précédente !)

D'où les solutions : z = [(1 + i) - (3 - i)]/2 = -1 + i ou z = [(1 + i) + (3 - i)]/2 = 2

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 16:50

Citation :
L'équation, déjà écrite est z² - z(1 + i) + 2i(1 + i) = 0 ou -z² + z(1 + i) - 2i(1 + i) = 0
ou (si tu insistes à développer) z² - z(1 + i) - 2 + 2i = 0 ou -z² + z(1 + i) + 2 - 2i = 0

Posté par
damien06
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:17

D'accord je corrige ça, pouvez vous m'aider pour la 3,4,5 ?

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:22

3) Il s'agit de refaire exactement ce que tu viens de faire.
La différence c'est qu'ici, w est un complexe quelconque. Alors que précédemment on avait w = 1 + i.

Donc un second degré à résoudre...

4) Ecris la définition d'une fonction surjective, et observe ce que tu as démontré aux questions précédentes (okay, juste la question précédente !).

5) Pareil, définition d'une application injective, et faire des liens avec les questions précédentes.

Posté par
damien06
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:35

3) on doit donc résoudre z²/(z-2i) =
on a donc -z²+z-2i=0

mais je ne vois pas comment résoudre ça même avec le discriminant

4) une fonction surjective est une fonction dont les éléments possède au moins un antécédents par cette fonction, elle est surjective si on la prive de {2i}
mais comment le prouver ? Et determiner l'image de f(D) ?

5) fonction surjective, est une fonction dont les éléments possède au plus un antécédents par cette fonction
mais comment le prouver ?    

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:41

Citation :
3) on doit donc résoudre z²/(z-2i) =
on a donc -z²+z-2i=0

mais je ne vois pas comment résoudre ça même avec le discriminant
Tu l'as pourtant fait quand à la question précédente...

Que vaut le discriminant ?
Quels critères sur le discriminant pour avoir des solutions à l'équations ?

Posté par
damien06
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:43

3) Il faut simplement dire que le nombre d'antécédents varie entre un et deux si le discriminant respectivement soit la valeur 0 soit des valeurs supérieur à 0 ?

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:49

C'est assez maladroit, mais tu as les idées oui, on a assurément un ou deux antécédents suivant les valeurs de w.

Maintenant fais-le rigoureusement, indique suivant les valeurs de w le nombre de ses antécédents par f.

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:50

Et on a un discriminant complexe ! Pas question d'introduire des mots tels que "supérieur à 0" attention.

Posté par
damien06
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:51

d'accord

en ce qui concerne la 4) comment je justifie qu'elle est surjective sauf sur 2i ?

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 17:59

Citation :
en ce qui concerne la 4) comment je justifie qu'elle est surjective sauf sur 2i ?
Que signifie ce "sauf sur 2i" ?

Tout simplement, la question précédente montre que tout complexe w a au moins un antécédent par f dans D (f(D) = C) si bien que f est surjective.

Posté par
damien06
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 18:09

Sauf sur 2i car la fonction n'est pas définis dessus

Pour la 5) je dois montrer que f(x)=f(x')
donc que z²/(z-2i)=z'²/(z'-2i) ?

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 18:32

Citation :
Sauf sur 2i car la fonction n'est pas définis dessus
La fonction n'est pas définie en 2i, donc il n'y a même pas lieu de l'évoquer, 2i n'est pas élément de D.

Pour la 5) une fonction injective est une fonction qui ne prend jamais deux fois la même image. Regarde les questions précédentes... regarde la question 2)b)...

Posté par
damien06
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 18:53

Ah oui on a deux antécédents sur la 2b donc elle est pas injective

Merci d'avoir pris du temps pour m'aider   

Posté par
mdr_non
re : surjectivité, injectivité complexe 29-12-15 à 18:59

de rien : ) bonne continuation : )



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