Bonjour tout le monde
je reste bloqué sur la question 3, 4, 5
Soit f la fonction qui à un complexe z associe, lorsque c'est possible, f(z)= z²/(z-2i)
1) déterminer l'ensemble de définition D de f
2) a) Déterminer les racines carrées de 8-6i
b) En déduire tous les antécédents de 1+i par f
3) soit
un complexe. Discuter suivant les valeurs de
le nombre d'antécédents de
par f
4) Déterminer l'image de f(D) de D par f. La fonction f est elle une application surjective de D dans
?
5) f est elle une application injective de D dans
?
Ce que j'ai fais.
1) soit z 
et f:z
z²/(z-2i)
La fonction f(z) est un quotient, donc le dénominateur ne s'annule pas. z
2i donc Df
]-
;+
[/{2i}
2a) soit z
a,b
et on pose z=a+ib
on a z²=8-6i
(a+ib)²=8-6i
a²-b²+2iab=8-6i
a²-b²=8 et 2ab=-6
a²-b²=8, a²+b²=|8-6i|=
100=10, 2ab=-6
a²=9, b²=1, a,b sont de signes contraires
Les solutions de l'équation sont -+i ou 3-i
2b) déterminer les antécédents 1+i par f revient à résoudre l'équation suivante
1+i= z²/(z-2i) avec z
2i
on a 1+i= z²/(z-2i)
(1+i)(z-2i)=z²
-z²+iz-2-2i=0
on note
le discriminant de l'équation de -z²+iz-2-2i=0 avec
=b²-4ac
=i²-4*(-1)*(-2-2i)=-9-8i
soit z
a,b
et on pose z=a+ib
on a z²=-9-8i
(a+ib)²=-9-8i
a²-b²=-9 et 2ab=-8
a²=(-9+
145)/2, b²=(
145+9)/2 , a,b sont de même signe
a=
(-9+
145)/2 ou a=-
(-9+
145)/2, b=
(
145+9)/2 ou b=-
(
145+9)/2, ab sont de même signe
les antécédents de 1+i sont
(-9+
145)/2+
(
145+9)/2 et -
(-9+
145)/2-i
(
145+9)/2
Merci de votre futur aide