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Système complexe

Posté par Profil Ramanujan 02-03-19 à 18:54

Bonsoir,

Soient (a,b,c) \in \C^3 les affixes de 3 points formant un triangle direct. Je suis à la fin d'un long exercice, je bloque sur la résolution du système suivant :

On pose : D=a+j^2 b + jc
Soit u \in \C

\begin{cases} u \bar{D} - \bar{u} D = a \bar{D} - \bar{a} D \\  u j^2 \bar{D} - \bar{u} j D = bj^2 \bar{D} - \bar{b} j D  \\ u j \bar{D} - \bar{u} j^2 D = c j \bar{D} - \bar{c} j^2 D  \end{cases} \\

Soit u une solution du système. Je trouve comme condition nécessaire par combinaison linéaire des 3 lignes  :

u = \dfrac{(a+b+c) \bar{D} - (\bar{a} + \bar{b} j^2 + \bar{c} j )D}{3 \bar{D}}

Mais je bloque pour montrer que u est solution des  équations, j'ai essayé plusieurs fois mais je me perds dans des calculs interminables

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 02-03-19 à 19:15

Bonjour
combien de fois encore faudra-t-il demander un énoncé COMPLET ! surtout pour la dernière question .... pas comme si les questions précédentes pouvaient avoir un lien avec ce qui est demandé dans la dernière

Posté par
carpediemre : Système complexe 02-03-19 à 19:19

de plus on peut simplifier les deux dernières équations par j ...

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 02-03-19 à 19:45

pour ça entre autres que je demande un énoncé complet .... si ça se trouve il n'y a même pas à résoudre ce "système"

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 02-03-19 à 20:23

D'accord je vous posterai ça dans la soirée avec mes réponses à chaque question.

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 03-03-19 à 04:39

Soit A, B, C 3 points du plan complexe formant un triangle direct. On construit A',B',C' tels que les triangles BAC' , CBA', ACB' soient équilatéraux directs.

1/ Calculer les affixes de A', B', C' en fonction de A, B, C
Je trouve :
a'=-jc-j^2b  puis b'=-ja-j^2c  et c'=-jb-j^2a

2/ Montrer que les triangles ABC et A'B'C' ont même centre de gravité.

\dfrac{1}{3} (a' + b'+c')=\dfrac{1}{3} (a+ b+c)

3/ Montrer que : AA' = BB' = CC' \ne 0

\vec{AA'} a pour affixe : a+j^2b+jc  =z_1
\vec{BB'} a pour affixe : b+j^2c+ja  =z_2

z_2 = jz_1 donc AA'=BB'

Par l'absurde si AA'=0  donc \vec{AA'} est le vecteur nul alors :  a+j^2b+jc=0

Ce qui est équivalent à : a-b+j(c-b)=0 ce qui voudrait dire que le triangle ABC est indirect. D'où une contradiction.

4/ Montrer que les droites (AA') , (BB') , (CC') sont concourantes.

Un point H d'affixe u appartient à (AA') , (BB') , (CC') si et seulement si :

\dfrac{a-u}{a+j^2b+jc}   et  \dfrac{b-u}{j(a+j^2b+jc)}   et \dfrac{c-u}{j^2(a+j^2b+jc)} sont des réels.

Et je retombe sur le système que ci-dessus.

Posté par
etniopalre : Système complexe 03-03-19 à 11:19

Si  (a - u)/(a + j²b + jc)   est réel  tu as   (a - u)/(a + j²b + jc)  = (a* - u)/(a* + jb* + j²c*)  d'où  cu = d  ( c et d étant  des complexes ).
Reste à voir d'abord si c est non nul   .
.....

Posté par
etniopalre : Système complexe 03-03-19 à 14:32


Je corrige
Si t   est un réel   u : = ta +  (1 - t)a'  est  un point de la droite passant par a et a ' .
Si de plus ( a - u)/(a + j²b + jc)   est réel  on a :    (a - u)/(a + j²b + jc)  = (a* - u*)/(a* + jb* + j²c*)  et donc  ct = d  ce qui , si c 0 , fournit    u .


Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 03-03-19 à 14:40

Salut Etnopial. Oui c'est cette méthode que j'ai utilisé :

On nombre réelle vérifie : z = \bar {z} ainsi si on note D=a+j^2b+jc et comme \bar{j} = j^2

\dfrac{a-u}{D} = \dfrac{\bar{a} -\bar{u}}{\bar{D}}    

Puis : \dfrac{b-u}{jD} = \dfrac{\bar{b} -\bar{u}}{j^2 \bar{D}}    

Et enfin : \dfrac{c-u}{j^2 D} = \dfrac{\bar{c} -\bar{u}}{j \bar{D}}    

Ce qui donne le système suivant en simplifiant par j comme l'a suggéré Carpediem :

\begin{cases} u \bar{D} - \bar{u} D = a \bar{D} - \bar{a} D \\  u j \bar{D} - \bar{u} D = bj\bar{D} - \bar{b} D  \\ u \bar{D} - \bar{u} jD = c \bar{D} - \bar{c} jD  \end{cases} \\

Je trouve : u = \dfrac{(a+b+c) \bar{D} - (\bar{a} + \bar{b} j^2 + \bar{c} j )D}{3 \bar{D}}

Mais je n'arrive pas à prouver que u est solution de L_1. Je suis perdu dans les calculs.
Je dois remontrer que c'est solution de L_2 et L_3 où y a une astuce pour l'éviter ?

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 03-03-19 à 17:14

Ça n'irait pas plus vite de vérifier que l'isobarycentre commun aux deux triangles est sur les trois droites ?

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 03-03-19 à 17:29

Je n'ai aucune connaissance sur les barycentres.

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 03-03-19 à 17:30

On dirait que tu n'as pas une seule fois pensé à utiliser le fait que ABC est équilatéral direct.... Ce qui entraîne une relation simple entre a b et c...

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 03-03-19 à 17:32

Tu as pourtant su faire la question 2 ?
Tu as bien fait une première S avant de commencer à lire ton livre ? Ça me paraît être un prérequis....

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 03-03-19 à 17:33

Isobarycentre=centre de gravité....

Posté par
luzakre : Système complexe 03-03-19 à 17:50

Pour écrire ça

Citation :
Je n'ai aucune connaissance sur les barycentres.

après avoir écrit ça
Citation :
2/ Montrer que les triangles ABC et A'B'C' ont même centre de gravité.
\dfrac{1}{3} (a' + b'+c')=\dfrac{1}{3} (a+ b+c)

ce ne serait pas du foutage de gueule ?

@lafol (bonsoir !)
Je ne pense pas que ces droites se coupent en un tel point !
Il faudrait que la droite AA' soit médiane de ABC et, sauf cas particulier...

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 03-03-19 à 18:08

Comme le triangle ABC est équilatéral direct on a :

aj+bj^2+c=0

Je vois pas comment ça permet de simplifier mon problème.

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 03-03-19 à 18:10

Pour la 2 j'ai juste cherché la formule sur internet permettant de déterminer les coordonnées d'un centre de gravité.

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 03-03-19 à 18:14

Ooops j'ai lu que ABC était équilatéral direct au lieu de juste direct....

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 03-03-19 à 18:32

Je dois montrer que :

u \bar{D} - \bar{u} D -  a \bar{D} - \bar{a} D =0

Pour le calcul vous pensez que je peux laisser D ou je dois remplacer D par son expression ?

Posté par
luzakre : Système complexe 04-03-19 à 08:10

Bonjour !
Un peu de calcul !
Soit d=a+b\mathrm{j}^2+c\mathrm{j} (non nul, sinonle triangle ABC est équilatéral indirect).
On a aussi a-a'=d,\;b-b'=d\mathrm{j},\:c-c'=d\mathrm{j}^2.

On veut établir :
\exists(x,y,z)\in\R^3,\;a+xd=b+y\mathrm{j}d=c+z\mathrm{j}^2d ce qui équivaut à
\exists(x,y,z)\in\R^3,\;x=\dfrac{b-a}d+y\mathrm{j}=\dfrac{c-a}d+z\mathrm{j}^2 ce qui équivaut à
(S) : \exists(x,y,z)\in\R^3,\;x=p+y\mathrm{j}=q+z\mathrm{j}^2
Notations évidentes qui impliquent :p\mathrm{j}^2+q\mathrm{j}=\dfrac{(b-a)\mathrm{j}^2+(c-a)\mathrm{j}}d=1.

Par condition nécessaire :
(x,y)\in\R^2\implies p+y\mathrm{j}=\bar p+y\mathrm{j}^2\implies y=\dfrac{p-\bar p}{\mathrm{j}^2-\mathrm{j}}
et de même z=\dfrac{q-\bar q}{\mathrm{j}-\mathrm{j}^2}

Montrons que les valeurs obtenues conviennent :
   y,z sont des quotients de deux imaginaires purs donc des réels.
   Ensuite x=p+y\mathrm{j}=p+\dfrac{j(p-\bar p)}{\mathrm{j}^2-\mathrm{j}} (simplifier, ici, n'est pas une bonne idée)
             x=\dfrac{p(\mathrm{j}^2-\mathrm{j})+\mathrm{j}(p-\bar p)}{\mathrm{j}^2-\mathrm{j}}=\dfrac{p\mathrm{j}^2-\bar{p\mathrm{j}^2}}{\mathrm{j}^2-\mathrm{j}}\in\R
   et de même x'=q+z\mathrm{j}^2=q+\dfrac{\mathrm{j}^2(q-\bar q)}{\mathrm{j}-\mathrm{j}^2}=\dfrac{q\mathrm{j}-\bar{q\mathrm{j}}}{\mathrm{j}-\mathrm{j}^2}\in\R

Enfin, le numérateur de x-x' vaut p\mathrm{j}^2-\bar{p\mathrm{j}^2}+q\mathrm{j}-\bar{q\mathrm{j}}=p\mathrm{j}^2+q\mathrm{j}-\bar{p\mathrm{j}^2+q\mathrm{j}}=1-\bar1
Le système (S) est bien vérifié.

...........................................
Le changement de notations peut être évité en remarquant qu'une similitude directe (qui ne modifie pas l'existence d'un point commun d'intersection) qui envoie A sur l'origine et A' sur le point d'affixe -1 permet de travailler avec a=0,\;d=a+b\mathrm{j}^2+c\mathrm{j}=1

Posté par
jarod128re : Système complexe 04-03-19 à 09:14

Bonjour,
Juste un petit hors sujet:
J'ai des jeunes collègues qui ont obtenu leur capes sans connaître le mot barycentre. Faute aux programmes.
Fin du hors sujet.

Posté par
malou Webmasterre : Système complexe 04-03-19 à 09:17

jarod128, s'ils sont très jeunes, oui ; un peu plus âgés, non.

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 04-03-19 à 13:16

@Luzak

Je ne comprends rien à ce que vous faites vous avez changé toutes les notations je suis perdu : c'est quoi x, y, z, p, q ?

Ca sort d'où le \exists(x,y,z)\in\R^3,\;a+xd=b+y\mathrm{j}d=c+z\mathrm{j}^2d ?

Pourquoi ne pas avoir gardé mes notations ?

Posté par
luzakre : Système complexe 04-03-19 à 14:46

Quelqu'un (nommé Ramanujan) qui a écrit ça

Citation :

Un point H d'affixe u appartient à (AA') , (BB') , (CC') si et seulement si :
\dfrac{a-u}{a+j^2b+jc}   et  \dfrac{b-u}{j(a+j^2b+jc)}   et \dfrac{c-u}{j^2(a+j^2b+jc)} sont des réels.

ne peut vraiment pas comprendre qu'en nommant -x,\;-y,\;-z les réels en question et en posant d=(a+\mathrm{j}^2b+\mathrm{j}c) le
Citation :

Ca sort d'où le \exists(x,y,z)\in\R^3,\;a+xd=b+y\mathrm{j}d=c+z\mathrm{j}^2d ?
est exactement la relation u= qu'il a lui-même pondu ?

...................
Quant à mes notations (il est écrit explicitement qu'elles sont évidentes) si elles ne te plaisent pas, rien ne t'empêche de les changer.

.........................
Ceci dit il faudrait que tu comprennes que la lecture des corrigés ne te fera faire aucun  progrès.
Mis à part la curiosité compréhensible de "voir" quel est le résultat et qu'il a été déclaré obtenu, un corrigé bien utilisé consiste à :
1. comprendre les étapes utilisées  : ici, énoncé de systèmes équivalents, étude de conditions nécessaires, vérification.
2. prendre un crayon et, sans recopier, essayer de refaire la démonstration en apportant ses propres notations et avec des détails adaptés à son propre niveau (mathématique) de manipulations.

Posté par
luzakre : Système complexe 04-03-19 à 14:50

Citation :
\exists(x,y,z)\in\R^3,\;x=\dfrac{b-a}d+y\mathrm{j}=\dfrac{c-a}d+z\mathrm{j}^2 ce qui équivaut à
(S) : \exists(x,y,z)\in\R^3,\;x=p+y\mathrm{j}=q+z\mathrm{j}^2

Tu as vraiment besoin d'aide pour voir quelles sont les notations qui permettent de passer d'un ligne à la suivante ?

Je pense que tu as voulu "lire" mécaniquement sans essayer de comprendre et de faire !

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 04-03-19 à 15:30

Vous avez changé de méthode sûrement plus rapide que le système.

Mais ça fait 30 min que je réfléchis et je vois toujours pas comment obtenir le :

\exists(x,y,z)\in\R^3,\;a+xd=b+y\mathrm{j}d=c+z\mathrm{j}^2d  

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 04-03-19 à 15:43

luzak @ 04-03-2019 à 14:46

Quelqu'un (nommé Ramanujan) qui a écrit ça
Citation :

Un point H d'affixe u appartient à (AA') , (BB') , (CC') si et seulement si :
\dfrac{a-u}{a+j^2b+jc}   et  \dfrac{b-u}{j(a+j^2b+jc)}   et \dfrac{c-u}{j^2(a+j^2b+jc)} sont des réels.

ne peut vraiment pas comprendre qu'en nommant -x,\;-y,\;-z les réels en question et en posant d=(a+\mathrm{j}^2b+\mathrm{j}c) le
Citation :

Ca sort d'où le \exists(x,y,z)\in\R^3,\;a+xd=b+y\mathrm{j}d=c+z\mathrm{j}^2d ?
est exactement la relation u= qu'il a lui-même pondu ?


Bah non je cherche depuis 45 min je vois pas. Mon u= donne une seule égalité.

Ici vous en avez 2. Et je vois pas le lien.

Posté par
lionel52re : Système complexe 04-03-19 à 17:00

Hello Ramanujan, la question que tu te poses de droites concourantes est invariante par rotation, homothétie et translation


Pour simplifier grandement les calculs, il vaut mieux prendre a = 0, b = 1, c = e^{i\pi/3}

Alors  ton système se simplifie énormément :
D=j^2+je^{i\pi/3} = -1+\bar{j}
\bar{D}= -1+j

Posté par
luzakre : Système complexe 04-03-19 à 17:41

@Ramanujan
Tu CROIS avoir donné une relation u= !
En fait tu as défini u et tu as donné TROIS conditions le concernant.

Quand tu écris TROIS expressions qui sont des réels, en nommant ces réels on obtient forcément TROIS relations disant u=f(x)=g(y)=h(z).
Comme ta lettre u ne me sert à rien il reste bien DEUX relations.

Pourquoi me reprocher de ne pas utiliser u ? Tu fais de l'égocentrisme ?
Il est clair depuis le début du post que l'utilisation de cette variable n'amène que des impasses, tu le dis toi-même tout le long du post !
J'ai donc le DROIT, en rédigeant une démonstration, d'utiliser des variables différentes qui me permettent d'écrire une solution.

Maintenant que j'ai déblayé le terrain, tu peux reprendre tes calculs (ce n'est pas bien difficile - mais fastidieux- de traîner TES abc,D,u ainsi que les différents conjugués : à toi de les arranger pour que les quotients d'imaginaires purs, différences de conjugués, apparaissent clairement) et les réécrire sous une forme qui recopie ce que j'ai fait !
Tu auras alors la satisfaction de "finir" tes calculs interminables.

@lionel52
Avec tes choix tu auras un triangle ABC équilatéral ce qui n'est plus le problème initial transformé par similitude.
Il y a bien une transformation affine qui envoie (a,b,c) sur (0,1,e^{\mathrm{i}\pi/3} mais les triangles ABC',\dots ne sont plus équilatéraux...

De toute façon je te signale que ta méthode sera refusée puisque le LIVRE n'en parle pas !

Posté par
lionel52re : Système complexe 04-03-19 à 17:45

Oups pas vu que ABC était pas équilatéral....

Bon bah on prend c = e^{i\theta} avec \theta \in ]0,\pi[

Posté par
lionel52re : Système complexe 04-03-19 à 17:46

... c  = re^{i\theta}

Posté par
luzakre : Système complexe 04-03-19 à 18:09

Oui et, du coup, c'est pas très simple.

J'ai donné une similitude plus intéressante qui envoie A sur l'origine et A' sur le point d'affixe -1 car dans ce cas les complexes associés à \vec{AA'},\,\vec{BB'},\,\vec{CC'} sont égaux à  1,\mathrm{j},\mathrm{j}^2 respectivement.

De plus les droites se coupent sur l'axe réel (ma variable x est justement l'affixe de ce point de AA' qui est aussi sur les deux autres droites).
Lesquelles droites font avec l'axe réel des angles de \pm60 (degrés bien entendu).

Pour les curieux il semble que le point commun aux trois droites est aussi point comun aux cercles circonscrits aux trois triangles équilatéraux construits : mais, chut !, ce n'est pas dans le LIVRE !

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 04-03-19 à 22:11

J'ai pas compris vos méthodes d'invariance, de similitudes etc...
Luzak vous m'avez perdu. Quand on change les notations j'y arrive plus ça m'embrouille complètement.
Mais j'ai résolu à résoudre le système d'une autre manière.

Comme L_1 + L_2 + L_3 =0 car 1+j+j^2 =0 on en déduit que (L_3) est combinaison linéaire de (L_1) et (L_2)

Le système équivalent est : (j'ai simplifié par j dans la deuxième ligne)

\begin{cases} \\ u \bar{D} - \bar{u} D = a \bar{D} - \bar{a} D \\ u j \bar{D} - \bar{u} D = b j \bar{D} - \bar{b} D \\      \end{cases}

Le déterminant du système est : \det(S) = \begin{vmatrix} \bar{D} & -D \\ j \bar{D} & -D \end{vmatrix}=-D \bar{D} + j D \bar{D}

D'où : \det(S) = D \bar{D} (j-1) \ne 0 car D \ne 0 et donc \bar{D} \ne 0

C'est donc un système de Cramer.

On a : u = \dfrac{1}{\det(S)}  \begin{vmatrix} a\bar{D} - \bar{a} D& -D \\ bj \bar{D} - \bar{b}D & -D \end{vmatrix}

Ainsi : u=\dfrac{bj-a}{j-1} + \dfrac{D (\bar{a}-\bar{b})}{\bar{D} (j-1)}

De même : \bar{u} = \dfrac{1}{\det(S)}  \begin{vmatrix} \bar{D} & a \bar{D}- \bar{a}D \\ j \bar{D} & bj \bar{D} - \bar{b} D \end{vmatrix}

On en déduit : \bar{u}=\dfrac{\bar{a} j - \bar{b}}{j-1} + \dfrac{\bar{D} j  (b-a)}{D (j-1)}

Réciproquement, vérifions que u et \bar{u} sont solutions du système.

Calculons : u \bar{D} - \dbar{u} D :

u \bar{D} - \dbar{u} D  = \dfrac{\bar{D} ( bj-a-bj+aj)+ D(\bar{a} - \bar{b} - \bar{a} j + \bar{b})}{j-1}

D'où u \bar{D} - \dbar{u} D = \dfrac{a \bar{D} (j-1) -\bar{a}  D (j-1) }{j-1}

Enfin : u \bar{D} - \dbar{u} D = a \bar{D} - \bar{a} D donc u est solution de (L_1)

Calculons : u j  \bar{D} - \dbar{u} D :

u j \bar{D} - \dbar{u} D  = \dfrac{\bar{D} ( bj^2-aj-bj+aj)+ D(j \bar{a} - j \bar{b} - \bar{a} j + \bar{b})}{j-1}

D'où uj \bar{D} - \dbar{u} D = \dfrac{b  \bar{D} j (j-1) -\bar{b}  D (j-1) }{j-1}

Enfin : u \bar{D} - \dbar{u} D = bj \bar{D} - \bar{b} D donc u est solution de (L_2)

Ce qui termine la démontration.

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 04-03-19 à 22:18

que c'est balourd !

la différence de deux lignes donne immédiatement u, puis une bête conjugaison donne u barre, et il ne reste qu'à vérifier que les deux lignes sont bien satisfaites

Posté par
lionel52re : Système complexe 04-03-19 à 22:31

Parler de systeme de cramer ici ... bof à part si tu choisis les bons coeffs pour le déterminant.


u + u* = i
u + 2u* = 0

N'a pas de solution alors que le determinant est non nul...

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 04-03-19 à 22:46

@Lafol
Oui c'est vrai.

@Lionel
Dans mon cours il est écrit que si det(S) est différent de 0 alors le système est de Cramer même si le système est à coefficients complexes.

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 04-03-19 à 22:57

J'ai perdu du temps pour rien. Il n'y a pas besoin de vérifier que u et \bar{u} sont solutions...

D'après le cours : un système de Cramer possède une unique solution si et seulement si son déterminant est non nul.

Posté par
lionel52re : Système complexe 04-03-19 à 23:04

Ce nest pas un simple systeme linéaire d'equations...


Tu comprends au moins pourquoi le systeme suivant na pas de solutions?

u + u* = i
u + 2u* = 0

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 04-03-19 à 23:10

Bah alors pourquoi je tombe sur la bonne solution ?  Coup de chance ?

C'est quoi le étoile ?

Posté par
lionel52re : Système complexe 04-03-19 à 23:13

Le conjugué de u!

Posté par
luzakre : Système complexe 04-03-19 à 23:24

Citation :

...
Réciproquement, vérifions que u et \bar{u} sont solutions du système.
...

Ce que tu devrais surtout vérifier : les valeurs trouvées sont-elles  bien conjuguées l'une de l'autre !
Aucun théorème sur les systèmes de Cramer à coefficients complexes ne permet d'être certain de ce résultat : ce n'est pas parce que tu nommes tes inconnues u,\;\bar u que ce sont des complexes conjugués !
Regarde l'exemple proposé par lionel52 !

Bref, tes notions sur les systèmes linéaires sont à revoir complètement !

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 05-03-19 à 00:01

Ah j'ai compris votre exemple Lionel ! On obtient : u=2i et \bar{u}=-i donc \bar{u} n'est pas le conjugué de u.

Je fais la vérification :

\bar{u} =\dfrac{\bar{bj-a}}{\bar{j-1}} + \dfrac{\bar{D (\bar{a}-\bar{b})}}{\bar{\bar{D} (j-1)}}

En utilisant la relation \bar{j} = j^2 on obtient :

\bar{u}=\dfrac{\bar{b}j^2-\bar{a}}{j^2-1} + \dfrac{\bar{D} (a-b)}{D (j^2-1)}

En utilisant la relation j^3=1 on obtient :

\bar{u}=\dfrac{\bar{b}-\bar{a}j}{1-j} + \dfrac{\bar{D} j (a-b)}{D (1-j)}

Enfin :

\bar{u}=\dfrac{\bar{a}j - \bar{b}}{j-1} + \dfrac{\bar{D} j (b-a)}{D (j-1)}

Le résultat est démontré.

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 05-03-19 à 00:09

luzak @ 04-03-2019 à 17:41

@Ramanujan
Tu CROIS avoir donné une relation u= !
En fait tu as défini u et tu as donné TROIS conditions le concernant.

Quand tu écris TROIS expressions qui sont des réels, en nommant ces réels on obtient forcément TROIS relations disant u=f(x)=g(y)=h(z).
Comme ta lettre u ne me sert à rien il reste bien DEUX relations.


Oui j'ai 3 expressions qui sont des réels que je peux nommer r_1 , r_2 ,r_3. Mais ils ne sont pas égaux.

Mes seules égalités sont : r_i = \bar{r_i}

Donc j'ai pas compris le rapport entre mes 3 réels et la double égalité.

Posté par
luzakre : Système complexe 05-03-19 à 08:04

Je n'ai pas dit qu'ils sont égaux !
Je te dis d'écrire u=f(r_1)=g(r_2)=h(r_3) en isolant u dans tes relations ?=r_1,\;?=r_2,\;?=r_3 et tu verras ENFIN que tu réécris le système (S) (à notations près) que j'avais écrit.

Posté par
luzakre : Système complexe 05-03-19 à 08:10

Avant que tu dises "pas compris", à partir de \dfrac{a-u}d=r_1 tu écris u=a-dr_1 etc...
En mettant -x à la place de r_1 tu auras exactement ce que j'ai proposé.

Posté par
lafol Moderateurre : Système complexe 05-03-19 à 11:20

Ce n'était pas un système de Cramer ! Dans un système de Cramer on a autant d'équations que d'inconnues alors que tu avais deux équations mais une unique inconnue u.
Le conjugué de u n'est pas une autre inconnue c'est juste le conjugué de l'unique inconnue....

Posté par Profil Ramanujanre : Système complexe 06-03-19 à 01:20

@Luzak
Ok merci j'ai enfin compris on a : u=a-r_1D = b - r_2 jD = c - r_3 j^2 D

@Lafol
D'accord j'aurais pu résoudre le système par substitution.

Sinon j'ai pas compris le passage en rouge dans mon livre  :

\begin{cases} u \bar{D} - \bar{u} D = a \bar{D} - \bar{a} D \\  u j^2 \bar{D} - \bar{u} j D = bj^2 \bar{D} - \bar{b} j D  \\ u j \bar{D} - \bar{u} j^2 D = c j \bar{D} - \bar{c} j^2 D  \end{cases} \\

On trouve (condition nécessaire ) : u = \dfrac{(a+b+c) \bar{D} - (\bar{a} + \bar{b} j^2 + \bar{c} j )D}{3 \bar{D}}

Comme est u est invariant par permutation circulaire sur (a,b,c), il suffit de vérifier qu'il est solution de la première équation.


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