Bonjour,

Si tu viens d'entrer en math sup ça peut paraître difficile en effet, mais en janvier tu feras la leçon sur les polynômes et cet exercice deviendra un classique.

Prenons un polynôme de degré 3, Si ce polynôme admet 3 racines complexes (en fait ce sera toujours le cas, mais tu ne le sais pas encore ) on peut l'écrire :   En développant ceci, et par identification des coefficients on obtient :



Souvent on prendra a3=1. On appelle ceci les fonctions symétriques élémentaires. Bien sûr cela se généralise au degré n, mais tu le verras plus tard.

Pour l'instant, tu sais que (z;z';z'') sont solutions du polynôme : où il faut encore déterminer a.
Pour cela, utilise le fait que tes z sont dans U (donc de module 1) et les deux égalités dont tu disposes.

J'ai commencé ce matin même les polynomes: Théorème de d'Alembert, son corolaire, et quelques autres ^^

Par contre, en développant le polynome P je n'arrive pas exactement au même système que toi. Il faut inverse les deux première égalité: -a₂/a₃ est la valeur de la somme; -a₀/a₃ celle du produit; à moins que je me sois trompé


Pour le reste, je pense que ça devrait allait. En fait j'avais réfléchi au fait de construire entièrement un polynome de cette manière, mais j'avais cru que la somme et le produit des 3 complexes qui m'intéressent ne seraient pas apparemment aussi simplement. La prochaine fois je serai moins fainéant, je tenterai plus. ^^

Merci beaucoup

Oui effectivement j'ai inversé les 2 premières lignes

Théorème de d'Alembert Gauss ? Et bien voilà, tout polynôme est scindé sur C, tu peux donc affirmer qu'il y a 3 racines.

Tu vois comment trouver la 3e ligne à partir des conditions de l'exercice ? Après ça, il ne reste plus qu'a résoudre un polynôme, c'est relativement tranquille

mais j'avais cru que la somme et le produit des 3 complexes qui m'intéressent ne seraient pas apparus aussi simplement **

Erf, j'avais posté avant d'avoir vu ton message.
Pour l'instant la solution  ne me saute pas pas aux yeux, mais je vais chercher. Faut quand même travailler un peu

Certainement ! Si cependant tu ne trouves pas, dis moi et je te file un autre indice (un autre petit "truc" du même genre, à connaître, a réutiliser souvent, et à la fois le genre de truc que tu peux difficilement inventer si tu l'a jamais vu.)

En notant j'arrive à
Ca m'avait semblait être une bonne idée au début, mais en remplaçant j'arrive à que je n'arrive pas à simplifier (et c'est encore pire en passant par la notation trigonométrique )

Je ne sais pas si je suis sur la bonne voie...

Il n'y a jamais qu'une façon de résoudre un exercice, donc je ne peux pas dire que tu n'es pas sur la bonne voie. Par contre tu n'es pas sur la bonne voie que je propose ^^. D'abord j'aimerais préciser par rapport à ta parenthèse que les notations exponentielles et trigonométriques sont les mêmes, à quelques détails près qui font que l'exponentielle est mieux. Bref, presque tu peux l'oublier la notation trigo.

Ensuite, il nous manque un coefficient du polynôme, après ça on aura qu'a résoudre l'équation polynomiale, ce qui est largement dans nos cordes. Il faut donc trouver le dernier coefficient, il faut donc trouver la valeur de zz'+z'z"+z"z

Une idée ?


Une petite remarque pratique : lorsque tu bloques dans un exercice, que tu vois mal où se trouve la sortie, demande toi quelle hypothèse de l'énoncé tu n'as pas utilisé. Les sujets de concours sont donnés sous forme minimale : toutes les hypothèses sont utiles.
Et ici il me semble que tu n'as pas utilisé une hypothèse sur les z,z',z" ...
Ah en fait si, puisque tu as écrit les z comme des exponentielles. Bon il faut effectivement utiliser le fait que zU, mais pas comme cela ...
Si tu ne vois toujours pas (ce que je comprendrais !) je te donne la petite astuce à connaître absolument sur les nombres de module 1.

Oui, je sais que les notations exponentielles et trigonométriques sont fondamentalement les mêmes, mais j'arrive plus facilement à simplifier en utilisant cos et sin qu'en restant avec l'exp. Même si ici ça n'a aboutit à rien.

En essayant pas mal de trucs j'ai simplement réussi à trouver si l'affixe de z est sur le cercle trigonométrique.
Ca m'a paru assez inutile sur le coup mais en fait ça permet de finir

En effet on a donc , soit le conjugué de cette somme =a_1, soit a_1=1

La suite ne pose pas de difficulté.

Pfiou, ça change de la majorité des exercices auxquels on est habitué en Terminale.


Merci beaucoup pour l'aide

Exactement, à retenir absolument, pour un complexe de module 1 :
Ca débloque la plupart des exo du genre. Et le coup des fonctions symétrique élémentaires ça te déquille également une bonne majorité.

Ca change un peu de la terminale oui

Sans indiscrétion, dans quelle prépa es tu ?

D'accord. Ca se retient assez facilement d'ailleurs en s'imaginant la représentation de z et z barre dans le plan complexe.
Et qu'est-ce qu' est exactement une fonction symétrique élémentaire ?


Et je suis à Wallon (Nord), pourquoi ?

Ah. On a commencé par 2 heures assez pépères de logique, puis on a attaqué les complexes. Ca va assez vite, mais pour l'instant les cours ne sont pas trop compliqués. Il nous a simplement été donné à faire un DM niveau terminale  le week-end dernier pour ce qui est de 'révisions'.


Je n'ai pas compris... Que représentent les x_i ? Et les i?
Et sinon je ne me souviens pas d'avoir vu un résultat permettant de calculer la somme des carrés des racines d'un polynôme du second degré...


Enfin bref, encore merci pour l'explication.
Bonne soirée


Ps: Je risque de ne pas répondre avant demain.

Ah j'ai oublié, les "i" dénombrent les n racines. Je numérote les racines : 1,2, ..,i,..,n