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systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert

Posté par
robby3 08-05-08 à 18:47

Bonjour tout le monde, voilà un exercice que je n'arrive pas à faire...

Citation :
Considérez le C-espace de Hilbert à poids:
\large H=L_C^2(R^2,exp(-x^2-y^2)dxdy)
équipé du produit scalaire:
\large <f,g>:=\Bigint \Bigint_{R^2} f(x,y)\bar{g(x,y)}exp(-x^2-y^2) dxdy
et de la norme ||.|| de minkowski associée.
Vérifier que les classe des fonctions:
\rm \large e_n (x,y) \rightarrow (x+iy)^n
forment un systeme orthogonal de H et que \rm \large \forall n\in N,||(x+iy)^n||=\sqrt(\pi n!)
Comment transformer ce systeme en un systeme orthonormé?


>bon alors, j'ai commencer par regarder
pour m\neq n et m,n\in N:
\large <e_n,e_m>=\Bigint \Bigint_{R^2} (x+iy)^n.(x-iy)^m.exp(-x^2-y^2) dxdy
donc bah, changement en coordonnées polaire s'imposent...
j'obtiens:
\large \Bigint_0^{2\pi} exp(i(n-m)\theta) d\theta. \Bigint_0^{+\infty} exp(-r^2).r dr
et là ça coince,que faire??
merci d'avance de votre aide

Posté par
fusionfroidere : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:03

Salut robby,

Je ne connais rien du tout à ces notions, mais est-ce que tu bloques sur le calcul des intégrales ?

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:19

salut
bah déjà je voudrais savoir si ce que j'ai écrit est correct...et ensuite comment m'en sortir pour que ça fasse 0.

Posté par
carpediemsystème orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:37

salut

en supposant ton calcul exact il semble aisé de calculer chacune de ces 2 intégrales:
dans la 2° rdr est presque la dérivée de -r² donc tu peux faire apparaitre u'eu
pour la 1° tu intégres ek dont une primitive est 1/k... et k0 car mn
après faut voir si ça fait 0...

Posté par
fusionfroidere : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:40

Je trouve bien 0 robby

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:42

salut Carpediem...
la 1er integrale ne fait-elle pas 0??

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:43

Citation :
Je trouve bien 0 robby

>
et comment?

Posté par
fusionfroidere : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:48

Ben on a : \Bigint_0^{2\pi} exp{i(n-m)\theta}d\theta=\frac{-i(exp{2i\pi(n-m)}-1)}{n-m} \\
Or, exp{2i\pi n}=cos(2\pi n)+isin(2\pi n)

Or, n \in \mathbb{N} donc cos(2\pi n)=1 et sin(2\pi n)=0

Finalement, exp{2i\pi(n-m)}=exp{2\pi n}exp{2\pi m}=1

Posté par
carpediemsystème orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:51

ta 2° intégrale n'est pas nulle car tu intégres une fonction strictement positive donc la 1° est nulle (d'ailleurs tu fais un tour complet donc tu revient au point de départ et a-a=0)

Posté par
carpediemsystème orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:57

exp(i0)^(n-m)=exp(i2)^(n-m)=1^n...
pour faire plus simple

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 19:57

ok, par contre,je crois qu'on est obligé de calculer la 2eme integrale pour la suite...mais je vois pas trop...

Citation :
la 2° rdr est presque la dérivée de -r² donc tu peux faire apparaitre u'eu

>comment ça?

Posté par
carpediemsystème orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 20:00

exp(-r²)rdr= -0,5 * exp(-r²) * (-2rdr)
donc une primitive est -0,5exp(-r²)

Posté par
fusionfroidere : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 20:01

Citation :
exp(i0)^(n-m)=exp(i2)^(n-m)=1^n...
pour faire plus simple


Ok !

Robby >> \Bigint_{0}^{\infty} r exp{-r^2}dr=[-\frac{1}{2}exp{-r^2}]_0^{\infty}

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 20:44

humm...ok
mais dans ce cas, ça nous fait le 2eme integrale qui vaut 1/2 non?
la premiere pour n=m vaut 2\pi non?
ça nous ferait ||(x+iy)^n||=\pi et non \sqrt(n!\pi)
y'a un soucis ou j'ai fait une boulette?

Posté par
perroquetre : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 21:31

Bonsoir, robby3

En effet, tu as fait une erreur dans ton premier message. Le changement de variables donne:

4$ <e_n|e_m>=\int_0^{2\pi}e^{i(n-m)\theta} d\theta \int_0^{+\infty} r^{m+n+1}e^{-r^2}dr

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 22:52

salut perroquet,
je ne comprend pas d'ou sort le r^{n+m}?
et meme avec ça,comment tu calcules \bigint_0^{+\infty} r^{n+m+1}exp(-r^2)dr ?

Posté par
perroquetre : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 08-05-08 à 23:06

(x-iy)^m=(re^{-i\theta})^m=r^m e^{-im\theta}
(x+iy)^n=(re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}

Cela ne remet pas en question le calcul de   <e_n|e_m> lorsque m est différent de n.

Tout ce qu'il reste à faire, c'est calculer   <e_n|e_n>, donc

3$ \int_0^{+\infty} r^{2n+1}e^{-r^2}dr

Pour cela, tu vas intégrer par parties en posant:

u'(r)=re^{-r^2}        v(r)=r^{2n}

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 09-05-08 à 11:52

Re,
on a \large u(r)=\frac{-exp(-r^2)}{2} \\ v'(r)=2n.r^{2n-1} \\
donc
\large \Bigint_0^{+\infty} r^{2n+1}.exp(-r^2)dr=n.\Bigint_0^{+\infty}r^{2n-1}.exp(-r^2) dr

c'est la bonne voie??
on refait un certain nombre d'integration par parties...on voit poindre le n!,sans oublier l'autre integrale qui nous fait 2\pi
je me serais trompé d'un coefficient 1/2...
ou ai-je fait l'erreur?

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 09-05-08 à 15:01

ah non quelle idiot!
c'est bon j'ai bien trouvé ce qu'il fallait!

M

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 09-05-08 à 15:03

oups!
maintenant il faut que je transforme ce systeme en un systeme orthonormé...
donc si je pose \large e_n(x,y)=\frac{(x+iy)^n}{\sqrt(\pi n!)}
ça devrait etre bon non?

Posté par
carpediemsystème orthogonal dans un C-espace de Hilbert 09-05-08 à 17:34

à priori oui
car en/||en||a pour norme 1

Posté par
robby3re : systeme orthogonal dans un C-espace de Hilbert 09-05-08 à 20:59

Ok MERCI à tout le monde;notamment à perroquet qui m'a éclairer sur une erreur monumentale.
Merci!


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