Bonjour
j'ai un devoir de maths à rendre pour dans 1 semaine et 1/2 et il est particulièrement difficile.
Pourriez-vous m'aider svp? merci
voici le sujet :
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OABC est un tétraèdre tel que :
- OAB , OAC , et OBC sont trois triangles rectangles en O.
- OA = OB = OC .
Le dessin pourra être refait et complété au fur et a mesure de l'avancement du problème.
1/ On nomme G le point du plan (ABC) qui est le point d'intersection des trois médiatrices du triangle ABC.
Montrer que ce point G est aussi l'isobarycentre du système de points {A , B , C }.
2/ On choisit la distance OA comme unité de longueur, et on munit ainsi l'espace du repère orthonormal (O , OA , OB , OC ) OA OB et OC sont des vecteurs..
A_ déterminer les coordonnées du point G
B_ Montrer que le vecteur OG est normal au plan (ABC).
C_ Calculer la distance du point O au plan (ABC).
3/ On rappelle que, dans l'espace, le plan médiateur d'un segment est défini de deux façons équivalentes :
- c'est le plan orthogonal au segment et passant par son milieu.
- C'est l'ensemble de tous les points de l'espace situés à égale distance des deux extrémités du segment.
A_ Montrer que le plan médiateur P du segment [AB] est le plan (COG).
Déterminer la plan médiateur Q du segment [BC].
B_ Déterminer l'ensemble E des points de l'espace situés à égale distance des trois points A , B et C.
4/ A_ Calculer le Volume V (en unités de volume) du tétraèdre OABC.
B_ Soit le point
de l'espace, défini comme le barycentre du système de points pondérés { (0,-1) , (A,1) , (B,1) , (C,1) }.
Montrer que
est équidistant des quatre sommets du tétraèdre OABC.
Puis calculer le volume V' (en unités de volume) de la sphère (S') circonscrite à ce tétraèdre.