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Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 22:55

purée!
c'était encore plus c**!!

pour la 8) le début on  utilise la 7) et la formule de Striling...par contre le truc pour tout x...je pense qu'il faut avancer un argument important pour pouvoir le dire non?
sinon ça vient encore du 7)
sauf qu'on change l'indicatrice!
on va de -racine de n à x.

pour 9) peut-on dire que \frac{S_{n+1}-n/\lambda}{\sqrt(n)/\lambda} suit la meme loi que \frac{S_n-n/\lambda}{\sqrt(n)/\lambda}?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:06

Attends j'en suis pas encore au 9!


Pour le 8 c'est simple!

Il est clair que pour tout t il y a convergence simple.
Les fonctions sont mesurables positives.
De plus pour tout x fixé on peut appliquer la convergence dominée sur ]-infini;x] puisqu'un morceau de h_n est majoré par la fonction intégrable f de la question précédente, et que la suite "Stirlingesque" qui est en facteur converge, donc est bornée par une constante M' indépendante de n.

Au total,h_n est dominée par la fonction M'.f intégrable sur ]-infini;x]

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:11

ah ok d'accord!
Trés bien!
j'ai saisi la chose!

d'aprés la 8) Y_n converge en loi vars G qui suit une loi N(0,1) vu que la 8) montre la convergence des fonctions de répartitions.
il faut trouver Y_n et \frac{S_n-n\lambda}{\sqrt(n)/\lambda} ont meme fonction de répartition,ou suivent la meme loi...
(cependant ça va etre dur vu qu'elles n'ont pas les memes densité!)

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:20

La 9 me semble tout aussi évidente robby!

On vient de prouver que pour tout x, P(Yn
Donc par définition même, Yn converge en loi vers G.

Ensuite attention au changement d'indice entre Sn+1 et Sn, il est un peu plus traître que prévu.

Comme avec n+1 en indice ça converge vers G, il suffit de montrer que la différence converge en loi vers 0.

Or:

4$\frac{S_{n+1}-\frac n{\lambda}}{\frac{\sqrt n}{\lambda}}\;-\;\frac{S_{n}-\frac n{\lambda}}{\frac{\sqrt n}{\lambda}}=\frac{\lambda}{\sqrt n}(S_{n+1}-S_n)=\frac{\lambda}{\sqrt n}T_{n+1}

donc il reste à montrer que ce truc converge en loi vers 0 !

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:26

ok!
pas de soucis T_{n+1} suit une loi exponentielle et on a que la fonction de répartition de T_{n+1} est 1-exp(-\lambda.t)
donc \frac{\lambda}{\sqrt(n)}.T_{n+1} va tendre vers 0 en loi!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:34

Quand je l'écris je trouve un truc qui tend vers 1.

Or en effet, la seule va G' que je vois qui soit strictement positive et vérifiant pour tout x > 0 que P(G'
Mais peut-être peut-on raisonner avec les densités?

Si une suite f_n de densités tend vers f, c'est la convergence en quoi ça?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:39

En tout cas c'est gagné robby, on lui a damé le pion à ton problème!!:D

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:47

okkkk!!!!
Goalllll!!!
Merci à toi Tigweg!!!
T'as été trés bon encore une fois!
je vais pouvoir te laisser dormir maintenant
mais attention demain je reviens!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 23-03-08 à 23:55

Lol merci à toi pour ce bel exo robby!

Par contre sais-tu répondre à mes questions de 23h34?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 00:06

Citation :
Si une suite f_n de densités tend vers f, c'est la convergence en quoi ça?

>en fait je crois que si tu montre la convergence des desnités,comme les fonctions de répartition sont trés proches des fonctions de densité...tu montre la convergence en loi...
je te fais la démo et au dodo!

Supposons que \forall t,f_n(t)->f(t) alors X_n->X en loi

On fixe x dans R
F_n(x)->F(x) ??

Fatou => \rm liminf \Bigint_{-\infty}^x f_n(t) dt\ge \Bigint_{-\infty}^x liminf f_n(t)dt=\Bigint_{-\infty}^x f(t) dt =>liminf F_n(x)\ge F(x).
On regarde alors
liminf(1-F_n(x))=liminf(1-\Bigint_x^{\infty} f_n(t) dt)
par fatou de nouveau: \rm \ge \Bigint_x^\infty f_n(t) dt=\Bigint_x^{\infty} f(t)dt=1-F(x)en simplifiant par 1...
liminf -F_n(x)\ge -F(x) cad limsup F_n(x) \le F(x) d'ou lim F_n(x)=F(x) et donc X_n->X en loi.

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 00:10

j'espere avoir répondu à ta question Tigweg!
Sinon je pense que je te verrais demain sur l'ile!
Bonne nuit!
et encore merci!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 00:36

Ah oui à quelques détails près (mais je pense que tu es fatigué), bravo c'est nickel!

Je ne crois pas avoir déjà vu cette démo, mais elle est simple et élégante!

Donc la convergence "en densité" implique la convergence en loi...OK!

Implique-t-elle aussi la convergence en probas, est-ce le contraire, ou ni l'un ni l'autre?
J'y réfléchis!!

Encore merci robby , bonne nuit et à demain pour de nouvelles aventures!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 11:49

Salut,
Re,
c'est quoi les détails ou j'ai flanché?

Citation :
Implique-t-elle aussi la convergence en probas, est-ce le contraire, ou ni l'un ni l'autre?

>alors j'espere ne pas dire de sottises...

la convergence p.s=>convergence en proba=>convergence en loi

convergence en loi => convergence ne proba à condition que  ce vers quoi on tend est une constante(0 par exemple!)

de meme pour la réciproque proba=>ps.

par ailleurs la convergence dans L^p => convergence ne proba.

Voilà Tigweg!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 14:37

Salut robby!

Je connaissais ces implications, mais je te parlais de la question de savoir si la convergence "en densité" implique aussi la convergence en probas, est-ce le contraire, ou ni l'un ni l'autre.

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 15:15

Re,
on travail rarement avec les densités sauf pour calculer les fonctions de répartition...
vu que la convergence en densité implique celle en loi et que celle en loi n'implique pas celle en proba sauf si on tend vers une constante,la réponse est non sauf si ce vers quoi on tend est une constante.
ok?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 15:16

euhh...quand j'ai voulu rédiger,je n'ai plus réussi à expliquer le début de la question 8...
pour tout t \in R,lim h_n(t)=\frac{exp(-t^2/2}{\sqrt(2\pi}
??

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 15:17

euhh...quand j'ai voulu rédiger,je n'ai plus réussi à expliquer le début de la question 8...
pour tout \rm t \in R,lim h_n(t)=\frac{exp(-t^2/2)}{\sqrt(2\pi}
??

Désolé!!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 15:24

Attends je mange un truc et je reviens!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 15:25

ok!
Bon appétit Tigweg!

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 16:26

ah non c'est bon,j'ai retrouvé mon petit bout de papier!
Merci encore Tigweg!
Bonne aprés midi!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 16:53

Merci robby!

Me revoici!


quote]on travail rarement avec les densités sauf pour calculer les fonctions de répartition...
vu que la convergence en densité implique celle en loi et que celle en loi n'implique pas celle en proba sauf si on tend vers une constante,la réponse est non sauf si ce vers quoi on tend est une constante.
ok?


->Pas d'accord a priori,

CV proba => CV loi et
CV densité => CV loi

donc il est possible qu'on puisse insérer la CV en densité entre les deux autres, ou la CV en proba entre les deux autres.

Cela dit j'ai un peu essayé je n'aboutis pas à grand-chose, ni dans un sens ni dans l'autre:

Si 4$f_n\rightarrow f alors pour tout 4$\epsilon>0,\;P(|X_n-X|\le \epsilon)=\Bigint_{-\epsilon}^{\epsilon}f_n*\tau_f(x)dx

où l'on note 4$\tau_f(x)=f(-x)

car 4$X_n\approx f_n\;et\;-X\approx \tau_f donc 4$X_n-X\approx f_n*f


Or même si les f_n et f sont continues sur tout segment de R, il n'y a aucune raison que cette intégrale tende vers 0 en l'infini.

Inversement, même si l'intégrale tend vers 0 pour tout epsilon>0 je ne pense pas qu'on puisse du tout en déduire que f_n tend vers f.

Ok maintenant je regarde ta question!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 16:54

Posts croisés!

Heureux que tu aies trouvé!
Tu repars?

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 17:33

je repars?
j'ai pas trop compris pourquoi t'es pas d'accord,je pense que Stokastik ou Kaiser nous mettront d'accord...dés qu'on les voit faisons leur en part!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 17:57

Non mais de façon générale, si deux propriétés A et B impliquent une même propriété C, on ne peut pas dire a priori qui de A et B est la plus forte, ni même si l'une des deux est plus forte que l'autre.

Ici, A={convergence en densité}
B={convergence en probas}
C={convergence en loi}

Posté par
robby3re : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 18:06

ah d'accord,
je dis simplement que si t'as convergence en proba t'as convergence en loi.
la réciproque est vrai si tu converge vers une constante.
Ensuite,on a montré convergence en densité=>convergence en loi mais effectivement,le rapport densité/probas m'est completement inconnu!!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Theoreme Central Limite 24-03-08 à 18:36

OK!

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